Cos8x×cos4x+sin8x×sin4x=-1/2 Cos3x×cos4x-sin3x×sin4x=1/2

Question

Алгебра: Cos8x×cos4x+sin8x×sin4x=-1/2 Cos3x×cos4x-sin3x×sin4x=1/2

ЮраУтюг · Accepted Answer

Доказательство:

Пусть

натуральное число, тогда 2n-1

будет натуральным и нечётным числом. Возведем данное число в квадрат:

(2n-1)^2=(2n)^2-4n+1=4n^2 -4n+1

Вычтем 1 и получим:

4n^2-4n

Докажем с математической индукции, что данное число делиться на 8:

При $n=1\Rightarrow 4-4=0$ , 0 делиться на 8, следовательно условие выполняется.

Предположим что данное число делиться на 8 при некотором

. Докажем что данное число делиться на 8 при n+1

:

$4(n+1)^2-4(n+1)=4(n^2+2n+1)-4n+4=\\\\=4n^2+8n+4-4n+4=(4n^2-4n)+8n+8=\\\\(4n^2-4n)+8(n+1)$

По предположению 4n^2-4n

делиться на 8. Следовательно, существует натуральный

так что:

Отсюда:

следовательно, при n+1

данное число тоже делиться на 8. Ч.Т.Д.

MOGZ ответил

Cos8x×cos4x+sin8x×sin4x=-1/2

Cos3x×cos4x-sin3x×sin4x=1/2