Question

Решите уравнение 4^x-1-3*2^x-2=10

Answer 1

$log_{2}(3+\sqrt{61})-1;$

Объяснение:

$4^{x}-1-3\cdot2^{x}-2=10;$

$(2^{2})^{x}-3\cdot2^{x}-3-10=0;$

$2^{2\cdot x}-3\cdot2^{x}-13=0;$

$2^{x\cdot 2}-3\cdot2^{x}-13=0;$

$(2^{x})^{2}-3\cdot2^{x}-13=0;$

Введём замену:

$t=2^{x}.$

Перепишем исходное уравнение с учётом замены:

$t^{2}-3t-13=0;$

$a=1, \quad b=-3, \quad c=-13;$

$D=b^{2}-4ac;$

$D=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-13)=9+52=61;$

$t_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};$

$t_{1}=\frac{-(-3)+\sqrt{61}}{2\cdot1}=\frac{3+\sqrt{61}}{2};$

$t_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};$

$t_{2}=\frac{-(-3)-\sqrt{61}}{2\cdot1}=\frac{3-\sqrt{61}}{2};$

Вернёмся к замене:

$2^{x}=\frac{3+\sqrt{61}}{2};$

$2\cdot2^{x}=3+\sqrt{61};$

$2^{x+1}=3+\sqrt{61};$

$x+1=log_{2}(3+\sqrt{61});$

$x=log_{2}(3+\sqrt{61})-1;$

Корень t₂ не имеет смысла.

__________________________________________________________

Проверка (в ответе писать не надо):

$4^{log_{2}(3+\sqrt{61})-1}-1-3\cdot2^{log_{2}(3+\sqrt{61})-1}-2=10;$

$4^{log_{2}(3+\sqrt{61})-log_{2}2}-3\cdot2^{log_{2}(3+\sqrt{61})-log_{2}2}-3=10;$

$4^{log_{2}((3+\sqrt{61}):2)}-3\cdot2^{log_{2}((3+\sqrt{61}):2)}-3=10;$

$4^{log_{2}(0,5(3+\sqrt{61}))}-3\cdot2^{log_{2}(0,5(3+\sqrt{61}))}-3=10;$

$2^{2log_{2}(0,5(3+\sqrt{61}))}-3\cdot 0,5(3+\sqrt{61})-3=10;$

$2^{log_{2}((0,5(3+\sqrt{61}))^{2})}-1,5(3+\sqrt{61})-3=10;$

$(0,5(3+\sqrt{61}))^{2}-4,5-1,5\sqrt{61}-3=10;$

$(0,5)^{2}\cdot(3+\sqrt{61})^{2}-1,5\sqrt{61}-7,5=10;$

$0,25\cdot(3^{2}+3\cdot2\cdot\sqrt{61}+(\sqrt{61})^{2})-1,5\sqrt{61}-7,5=10;$

$0,25\cdot(9+6\sqrt{61}+61)-1,5\sqrt{61}-7,5=10;$

$0,25\cdot(6\sqrt{61}+70)-1,5\sqrt{61}-7,5=10;$

$0,25\cdot 6\sqrt{61}+0,25\cdot 70-1,5\sqrt{61}-7,5=10;$

$1,5\sqrt{61}+17,5-1,5\sqrt{61}-7,5=10;$

$17,5-7,5=10;$

$10=10;$

Корень найден верно.