Question

Найдите множество значений функции f(x)=9(в степени x) +5* 3 ( в степени -2x)

Answer 1

$f(x) = 9^x + 5*3^{-2x} = 3^{2x} + 5*3^{-2x}\\\\ f'(x) = 2*3^{2x}ln3 -10*3^{-2x}ln3\\\\$

$f'(x) = 0; \ 2*3^{2x}ln3 -10*3^{-2x}ln3 = 0\\\\3^{2x} -5*3^{-2x} = 0\\\\ 3^{2x} = 5*3^{-2x}\\\\ 1/5 = 3^{-4x}, \ 3^{4x} = 5, \ 81^x = 5, \ x = log_{81}5\\$

$f(x) < 0, x < log_{81}5,\\\\ f(x) 0, x log_{81}5\\\\$

Функция f(x) имеет в точке x = log_{81}5, минимум.

$f(log_{81}5) = 3^{2log_{81}5} + 5*3^{-2log_{81}5} = 3^{2log_{3^4}5} + 5*3^{-2log_{3^4}5} =\\\\ 3^{log_{3}\sqrt{5}} + 5*3^{log_{3}(1/\sqrt{5})} = \sqrt{5} + 5/\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

При x -> +∞, f(x) - > +∞, при x -> -∞, f(x) - > +∞

Mножество значений функции f(x): $[2\sqrt{5}, +\infty)$