f(x)=x^3/3-x^2+2x-7, y=x-3
f'(x)=x^2-2x+2
f(x) = f'(a)(x-a) + f(a) - уравнение касательной.
y = x - 3
Уравнение касательной в точке, где f'(x) = 1.
Найдем из уравнения производной функции, какой точке соответствует такое значение производной:
x^2-2x+2 = 1
x^2-2x+1 = 0
(x-1)^2 = 0
x = 1
Т.е. y=x-3 уравнение касательной в точке x =1
Значение функции в точке получается подстановкой абсциссы точки в уравнение касательной: y = -2
Т.е. y=x-3 касательная в точке (1,-2)
Проведем обратное построение, пусть у нас есть точка, к которой мы должны построить касательную.
f(x) = f'(a)(x-a) + f(a)
По f(x) находим f'(x).
Ищем f'(1), оно равно 1.
Ищем f(1), оно равно -2.
Подставляем в формулу f(x) = f'(a)(x-a) + f(a)
f(x) = 1(x-1)-2
f(x) = x - 3.
Вот и получили уравнение касательной. Что бы найти производную функции, его знать не надо. Достаточно знать правила дифференцирования и таблицу элементарных производных.
Это получилось согласно правилам нахождения производных.
Степенной функции: показатель степени сносится вперед (в вашем случае получается 3*1/3 = 1), а показатель уменьшается на единицу (в вашем случае 3 - 1 = 2.
Таким образом получилось из x(3)/3 x(2)
То же самое и с другим членом: 2 сносим и ставим впереди, показатель уменьшаем на 1: 2 - 1 = 1 (единица не пишется)
И с третьим слагаемым: производная от 2х равна 2