Question

Известно что функция y=f(x) - первообразная для функции y=(x^3-9х)*корень(x-2). исследуйте функцию y=f(x ) на монотонность и экстремумы. последняя надежда

Answer 1

Чтобы найти первообразную F(x), надо проинтегрировать заданную функцию.

  ∫(x³-9x)*√(x-2) *dx.Сделаем замену:  t²=x-2, x=t²+2, dx=2t dt. Тогда получим интеграл

  ∫[(t²+2)³-9(t²+2)] *2t² dt= 2 ∫[t⁶+6t⁴+12t²+8-9t²-18]*t²dt= 2 ∫[ t⁸+6t⁶+3t⁴-10t² ]*dt= 2[ t⁹/9+6t⁷/7+3t⁵/5-10t³/3] + C= 2/9*t⁹+12/7*t⁷+6/5*t⁵-20/3*t³ +C, где t=√(x-2).

 Для исследования  F(x) надо найти производную от неё F¹(x),приравнять нулю Но производная должна быть равна заданной функции у=(x³-9x)*√(x-2). Это по определению первообразной.

y¹=(3x²-9)*√(x-2)+(x³-9x)*1/ √(x-2)=1/√(x-2) *[2(3x²-9)(x-2)+x³-9x]=0

То, что в квадр. скобках - числитель, а в знаменателе - √(х-2).

х≠2, числитель 7x³-12x²-27x+36=0. Из этого уравнения найдете корни (подбором, 36 должно делиться на корни).Корни являются критическими точками, то есть точками, подозрительными на экстремум.

В этом примере  первообразная нужна, чтобы найти "у" экстремальных точек.

Answer 2

Для исследования функции y=f(x) на монотонность и экстремумы, мы должны провести анализ ее производной. Начнем с нахождения производной данной функции.
1. Найдем производную функции y=f(x) по формуле расчета производной произведения функций:
y' = (x^3-9x)*√(x-2)' + (x^3-9x)'*√(x-2).

2. Найдем производные каждого из слагаемых по отдельности:
(x^3-9x)' = 3x^2 - 9,
√(x-2)' = 1/(2√(x-2)).

3. Подставим найденные производные обратно в формулу производной функции:
y' = (3x^2 - 9)*√(x-2) + (x^3-9x)*(1/(2√(x-2))).

Таким образом, производная функции y=f(x) равна y' = (3x^2 - 9)*√(x-2) + (x^3-9x)*(1/(2√(x-2))).

Теперь перейдем к анализу производной для определения монотонности и экстремумов функции:

I. Анализ монотонности:
Проверим знак производной y' на каждом из интервалов между возможными точками экстремума функции:
a) Для x < 2:
В данном интервале √(x-2) является комплексным числом, и его производная не определена.
b) Для 2 < x < 3:
В этом интервале √(x-2) положительно, а производная y' будет равна:
y' = (3x^2 - 9)*√(x-2) + (x^3-9x)*(1/(2√(x-2)))
При подстановке х=2 в эту производную обнаружим разрыв, а значит, точки экстремума нет.
Чтобы исследовать знак производной на этом интервале, можем разложить производную на множители:
y' = (√(x-2))*(3(√(x-2))x^2 - 9√(x-2) + (x^3-9x)/(2(√(x-2))).
Заметим, что (√(x-2))^2=(x-2), тогда упростим производную:
y' = (√(x-2))*(x^2 - 3) = (√(x-2))(x-√3)(x+√3).
Знаки данной производной можно определить из соответствующих знаков факторов:
√(x-2) > 0 для всех x > 2,
x-√3 > 0 для x > √3,
x+√3 > 0 для x > -√3.
Таким образом, на интервале 2 < x < 3 производная положительна и функция монотонно возрастает.
c) Для x > 3:
Также, как и в предыдущем случае, можем разложить производную на множители:
y' = (√(x-2))(x^2 - 3) = (√(x-2))(x-√3)(x+√3).
Здесь производная отрицательна для x < -√3 и положительна для -√3 < x < √3. Но так как мы рассматриваем только интервалы x > 3, то производная всегда положительна на этом интервале.
Следовательно, функция на интервале x > 3 монотонно возрастает.

II. Анализ экстремумов:
Экстремумы возникают при равенстве производной нулю или в случае неопределенности.
Для функции y=f(x) найдем точки, в которых производная равна нулю:
(√(x-2))(x-√3)(x+√3) = 0.
Для этого уравнения мы имеем три фактора, которые могут быть равными нулю:
1) √(x-2) = 0, решение: x = 2.
Это значение попадает в интервал 2 < x < 3, где функция монотонно возрастает, поэтому это не точка экстремума.
2) x-√3 = 0, решение: x = √3.
Это значение попадает в интервал x > 3, где функция монотонно возрастает, поэтому это не точка экстремума.
3) x+√3 = 0, решение: x = -√3.
Это значение отрицательно и не попадает в интервалы, которые мы рассматриваем, поэтому это тоже не точка экстремума.
Итак, функция y=f(x) не имеет точек экстремума.

Итак, после исследования функции y=f(x) на монотонность и экстремумы, мы приходим к следующему выводу:
Функция y=f(x), первообразная для функции y=(x^3-9x)*корень(x-2), монотонно возрастает на интервалах 2 < x < 3 и x > 3, и не имеет экстремумов.