Question

Какая прямая является осью симметрии параболы у=ах^2+bx+c в зависимости от значения а?

Answer 1

$y=ax^2+bx+c$

Осью симметрии параболы является прямая $x=-\dfrac{b}{2a}$.

Получить это можно, выполнив преобразование:

$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a} x+\dfrac{c}{a} \right)=$

$=a\left(x^2+2x\cdot\dfrac{b}{2a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a} \right)=$

$=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2} \right)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+\dfrac{4ac}{4a} =$

$=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=a\left(x-\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$

Горизонтальный сдвиг осуществляется на $\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$ вправо. Значит, прямая $x=-\dfrac{b}{2a}$ является осью симметрии параболы.