Question

Решить . умоляю'.найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции y=x^3 . касательной к нему в точке x=1 и осью у

Answer 1

Находим уравнение касательной в точке х=1

$y=x^3\\y`=3x^2\\y`(1)=3*1^2=3\\y(1)=1^3=1\\y=y(x_{0})+y`(x_{0})(x-x_{0})\\y=1+3(x-1)=1+3x-3=3x-2\\y=3x-2\\\\$

Находим точки пересечения у=х^3 и касательной у=3х-2

$x^3=3x-2\\x^3-3x+2=0\\(x-1)(x^2+x-2)=0\\(x-1)^2(x+2)=0\\x_{1,2}=1, x_{3}=-2$

Находим площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^3, касательной у=3х-2 и осью у (х=0). Т.к. у=х^3 лежит выше у=3х-2, то:

$S=\int\limits^1_{-2} {(x^3-(3x-2))} \, dx= \int\limits^1_{-2} {(x^3-3x+2)} \, dx=\\\\=(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x)|^1_{-2}=(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2)-(\frac{16}{4}-6-4)=\\\\=\frac{1}{4}-\frac{6}{4}+2+6=8-\frac{5}{4}=6\frac{3}{4}$