Question

Найти угловые коэффициенты касательных к графику функции f(x)=-4/x, пересекающих прямую у=х в точке с абциссой х=-1

Answer 1

$y=-\frac{4}{x}\\y`(x)=(-\frac{4}{x})`=(-4x^{-1})4x^{-2}=\frac{4}{x^2}\\\\y=y(x_{0})+y`(x_{0})(x-x_{0})\\y(x_{0})=-\frac{4}{x_{0}}\\\\y`(x_{0})=\frac{4}{x_{0}^2}\\\\y=-\frac{4}{x_{0}}+\frac{4}{x_{0}^2}(x-x_{0})=-\frac{4}{x_{0}}+\frac{4x}{x_{0}^2}-\frac{4}{x_{0}}=\frac{4x}{x_{0}^2}-\frac{8}{x_{0}}\\\\$

Получили общее уравнение касательной(ных) : $y=\frac{4x}{x_{0}^2}-\frac{8}{x_{0}}$

Угловые коэффициенты $k=\frac{4}{x_{0}^2}$

По условию, эти касательные пересекаются с прямой у=х в точке с абсциссой х=-1.

Запишем это:

$\frac{4x}{x_{0}^2}-\frac{8}{x_{0}}=x, x=-1\\\\\frac{-4}{x_{0}^2}-\frac{8}{x_{0}}=-1|*x_{0}^2\\\\-4-8x_{0}=-x_{0}^2\\\\x_{0}^2-8x_{0}-4=0\\\\D=80\\\\x_{0}_{1,2}=\frac{8+-\sqrt{80}}{2}=4+-2\sqrt{5}\\\\$

$k_{1,2}=\frac{4}{x_{0}^2}=\frac{4}{(4+-2\sqrt{5})^2}=\frac{4}{16+-32\sqrt{5}+80}=\frac{4}{96+-32\sqrt{5}}=\frac{1}{24+-8\sqrt{5}}=\\\\=\frac{1}{8(3+-\sqrt{5})}$

Это и есть искомые угловые коэффициенты