Question

Найдите матрицу, обратную матрице ​

Answer 1

Имеем матрицу:

$A = \left(\begin{array}{ccc}{-7}&0&4\\1&1&3\\2&4&{-3}\end{array}\right)$

Найдем $\det A \colon$

$\det A = \left|\begin{array}{ccc}{-7}&0&4\\1&1&3\\2&4&{-3}\end{array}\right| = {-7} \cdot \left|\begin{array}{ccc}1&3\\4&{-3}\end{array}\right| - 0 \cdot \left|\begin{array}{ccc}1&3\\2&{-3}\end{array}\right| + 4 \cdot \left|\begin{array}{ccc}1&1\\2&4\end{array}\right| =$

$= {-7} \cdot (1 \cdot (-3) - 3 \cdot 4) - 0 + 4 \cdot (1 \cdot 4 - 1 \cdot 2) = {-7} \cdot ({-15}) + 4 \cdot 2 = 113.$

Поскольку $\det A \neq 0,$ то существует обратная матрица $A^{-1},$ которая может быть найдена по формуле:

$A^{-1} = \dfrac{1}{\det A} \left(\begin{array}{ccc}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{array}\right),$

где $A_{ij}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}.$

$A_{11} = \left|\begin{array}{ccc}1&3\\4&{-3}\end{array}\right| = -15$

$A_{12} = -\left|\begin{array}{ccc}1&3\\2&{-3}\end{array}\right| = 9$

$A_{13} = \left|\begin{array}{ccc}1&1\\2&4\end{array}\right| = 2$

$A_{21} = -\left|\begin{array}{ccc}0&4\\4&{-3}\end{array}\right| = 16$

$A_{22} = \left|\begin{array}{ccc}-7&4\\2&{-3}\end{array}\right| = 13$

$A_{23} = -\left|\begin{array}{ccc}-7&0\\2&4\end{array}\right| = 28$

$A_{31} = \left|\begin{array}{ccc}0&4\\1&3\end{array}\right| = -4$

$A_{32} = -\left|\begin{array}{ccc}-7&4\\1&3\end{array}\right| = 25$

$A_{33} = \left|\begin{array}{ccc}-7&0\\1&1\end{array}\right| = -7$

Имеем:

$A^{-1} = \dfrac{1}{113} \left(\begin{array}{ccc}-15&16&-4\\9&13&25\\2&28&-7\end{array}\right)$

Проверим правильность матрицы $A^{-1} \colon$

$AA^{-1} = \dfrac{1}{113} \left(\begin{array}{ccc}{-7}&0&4\\1&1&3\\2&4&{-3}\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}-15&16&-4\\9&13&25\\2&28&-7\end{array}\right) =$

$= \dfrac{1}{113} \left(\begin{array}{ccc}113&0&0\\0&113&0\\0&0&113\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right) = E.$

ответ: $A^{-1} = \dfrac{1}{113} \left(\begin{array}{ccc}-15&16&-4\\9&13&25\\2&28&-7\end{array}\right)$