Чтобы найти значение параметра C, при котором прямая {3x - 2y + z + 3 = 0 и {4x - 3y + 4z + 1 = 0 параллельна плоскости 2x - y + cz - 2 = 0, нужно воспользоваться свойством параллельности прямой и плоскости.
Прямая и плоскость параллельны, когда вектор, направленный вдоль прямой, перпендикулярен нормальному вектору плоскости.
Первый шаг - найти направляющий вектор прямой. Для этого возьмем два произвольных уравнения прямой и выразим первые три переменных через параметр t:
3x - 2y + z + 3 = 0 => z = -3x + 2y - 3
4x - 3y + 4z + 1 = 0 => z = -x + 0.75y - 0.25
Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y:
-3x + 2y - 3 = -x + 0.75y - 0.25
Далее преобразуем это уравнение:
-3x + x + 2y - 0.75y = -3 + 0.25
-2x + 1.25y = -2.75
Выразим x через y:
x = 0.625y - 1.375
Теперь мы можем записать направляющий вектор:
(1, -0.625, 1)
Второй шаг - найти нормальный вектор плоскости. В плоскости у нас есть коэффициенты при переменных x, y и z:
2x - y + cz - 2 = 0
Таким образом, нормальный вектор будет иметь координаты (2, -1, c).
Найденные векторы должны быть перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение должно быть равно нулю:
(1, -0.625, 1) * (2, -1, c) = 0
1 * 2 + (-0.625) * (-1) + 1 * c = 0
2 + 0.625 + c = 0
2.625 + c = 0
c = -2.625
Таким образом, при значении C равном -2.625 прямая {3x - 2y + z + 3 = 0 и {4x - 3y + 4z + 1 = 0 будет параллельна плоскости 2x - y + cz - 2 = 0.
Прямая и плоскость параллельны, когда вектор, направленный вдоль прямой, перпендикулярен нормальному вектору плоскости.
Первый шаг - найти направляющий вектор прямой. Для этого возьмем два произвольных уравнения прямой и выразим первые три переменных через параметр t:
3x - 2y + z + 3 = 0 => z = -3x + 2y - 3
4x - 3y + 4z + 1 = 0 => z = -x + 0.75y - 0.25
Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y:
-3x + 2y - 3 = -x + 0.75y - 0.25
Далее преобразуем это уравнение:
-3x + x + 2y - 0.75y = -3 + 0.25
-2x + 1.25y = -2.75
Выразим x через y:
x = 0.625y - 1.375
Теперь мы можем записать направляющий вектор:
(1, -0.625, 1)
Второй шаг - найти нормальный вектор плоскости. В плоскости у нас есть коэффициенты при переменных x, y и z:
2x - y + cz - 2 = 0
Таким образом, нормальный вектор будет иметь координаты (2, -1, c).
Найденные векторы должны быть перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение должно быть равно нулю:
(1, -0.625, 1) * (2, -1, c) = 0
1 * 2 + (-0.625) * (-1) + 1 * c = 0
2 + 0.625 + c = 0
2.625 + c = 0
c = -2.625
Таким образом, при значении C равном -2.625 прямая {3x - 2y + z + 3 = 0 и {4x - 3y + 4z + 1 = 0 будет параллельна плоскости 2x - y + cz - 2 = 0.