Question

Какая то схема Горнера, теорема Безу вообщем)

Answer 1

$(x-1)^{3}(x-2)^{2};$

Объяснение:

$P(x)=x^{5}-7x^{4}+19x^{3}-25x^{2}+16x-4;$

Для того, чтобы разложить выражение на множители, приравняем правую часть равенства к нулю:

$x^{5}-7x^{4}+19x^{3}-25x^{2}+16x-4=0;$

Слагаемое –4 имеет следующие делители:

$\pm 1, \quad \pm 2, \quad \pm 4;$

Подставим вместо "х" единицу:

$1^{5}-7 \cdot 1^{4}+19 \cdot 1^{3}-25 \cdot 1^{2}+16 \cdot 1-4=1-7+19-25+16-4=-6-6+12=0;$

Единица обращает уравнение в верное равенство ⇒ один из множителей исходного выражения равен (х – 1). Разделим исходный многочлен на (x – 1):

$\frac{x^{5}-7x^{4}}{x-1}=\frac{x^{5}-x^{4}-6x^{4}}{x-1}=\frac{x^{4}(x-1)-6x^{4}}{x-1}=x^{4}-\frac{6x^{4}}{x-1};$

$\frac{-6x^{4}+19x^{3}}{x-1}=\frac{-6x^{4}+6x^{3}+13x^{3}}{x-1}=\frac{-6x^{3}(x-1)+13x^{3}}{x-1}=-6x^{3}+\frac{13x^{3}}{x-1};$

$\frac{13x^{3}-25x^{2}}{x-1}=\frac{13x^{3}-13x^{2}-12x^{2}}{x-1}=\frac{13x^{2}(x-1)-12x^{2}}{x-1}=13x^{2}-\frac{12x^{2}}{x-1};$

$\frac{-12x^{2}+16x}{x-1}=\frac{-12x^{2}+12x+4x}{x-1}=\frac{-12x(x-1)+4x}{x-1}=-12x+\frac{4x}{x-1};$

$\frac{4x-4}{x-1}=\frac{4(x-1)}{x-1}=4;$

$x^{5}-7x^{4}+19x^{3}-25x^{2}+16x-4=(x-1)(x^{4}-6x^{3}+13x^{2}-12x+4);$

Теперь разложим многочлен

$x^{4}-6x^{3}+13x^{2}-12x+4;$

Приравняем его к нулю:

$x^{4}-6x^{3}+13x^{2}-12x+4=0;$

Слагаемое 4 имеет следующие делители:

$\pm 1, \quad \pm 2, \quad \pm 4;$

Подставим вместо "х" единицу:

$1-6+13-12+4=-5+1+4=0;$

Единица обращает уравнение в верное равенство ⇒ один из множителей выражения равен (х – 1). Разделим многочлен на (x – 1):

$\frac{x^{4}-6x^{3}}{x-1}=\frac{x^{4}-x^{3}-5x^{3}}{x-1}=\frac{x^{3}(x-1)-5x^{3}}{x-1}=x^{3}-\frac{5x^{3}}{x-1};$

$\frac{-5x^{3}+13x^{2}}{x-1}=\frac{-5x^{3}+5x^{2}+8x^{2}}{x-1}=\frac{-5x^{2}(x-1)+8x^{2}}{x-1}=-5x^{2}+\frac{8x^{2}}{x-1};$

$\frac{8x^{2}-12x}{x-1}=\frac{8x^{2}-8x-4x}{x-1}=\frac{8x(x-1)-4x}{x-1}=8x-\frac{4x}{x-1};$

$\frac{-4x+4}{x-1}=\frac{-4(x-1)}{x-1}=-4;$

$x^{4}-6x^{3}+13x^{2}-12x+4=(x-1)(x^{3}-5x^{2}+8x-4);$

Теперь разложим многочлен

$x^{3}-5x^{2}+8x-4;$

Приравняем его к нулю:

$x^{3}-5x^{2}+8x-4=0;$

Слагаемое –4 имеет следующие делители:

$\pm 1, \quad \pm 2, \quad \pm 4;$

Подставим вместо "х" единицу:

$1-5+8-4=-4+4=0;$

Единица обращает уравнение в верное равенство ⇒ один из множителей выражения равен (х – 1). Разделим многочлен на (x – 1):

$\frac{x^{3}-5x^{2}}{x-1}=\frac{x^{3}-x^{2}-4x^{2}}{x-1}=\frac{x^{2}(x-1)-4x^{2}}{x-1}=x^{2}-\frac{4x^{2}}{x-1};$

$\frac{-4x^{2}+8x}{x-1}=\frac{-4x^{2}+4x+4x}{x-1}=\frac{-4x(x-1)+4x}{x-1}=-4x+\frac{4x}{x-1};$

$\frac{4x-4}{x-1}=\frac{4(x-1)}{x-1}=4;$

$x^{3}-5x^{2}+8x-4=(x-1)(x^{2}-4x+4);$

Теперь разложим многочлен

$x^{2}-4x+4;$

Это квадрат разности двух выражений:

$x^{2}-4x+4=x^{2}-2 \cdot x \cdot 2+2^{2}=(x-2)^{2};$

Выпишем полученные множители:

$x^{5}-7x^{4}+19x^{3}-25x^{2}+16x-4=(x-1)(x^{4}-6x^{3}+13x^{2}-12x+4);$

$x^{4}-6x^{3}+13x^{2}-12x+4=(x-1)(x^{3}-5x^{2}+8x-4);$

$x^{3}-5x^{2}+8x-4=(x-1)(x^{2}-4x+4);$

$x^{2}-4x+4=(x-2)^{2};$

Отсюда получаем, что

$x^{5}-7x^{4}+19x^{3}-25x^{2}+16x-4=(x-1)^{3}(x-2)^{2};$

$P(x)=(x-1)^{3}(x-2)^{2};$