Question

При каком значении параметра а уравнение x^2+2(а–1)х+a^2=0 имеет единственное решение?

Answer 1

Відповідь:

$x^2+2(a-1)x+a^2=0\\D=0\\(2(a-1))^2-4a^2=0\\4(a^2-2a+1)-4a^2=0\\\4a^2-8a+4-4a^2=0\\-8a+4=0\\8a=4\\a=\frac{1}{2}$

Пояснення:

Answer 2

Для решения данного уравнения, нужно использовать понятие дискриминанта и его связь с количеством решений уравнения квадратного типа.

Уравнение дано вида: x^2 + 2(a-1)x + a^2 = 0.

Для начала, найдем дискриминант данного уравнения. Дискриминант обозначается как D и равен формуле: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - это коэффициенты перед x^2, x и свободный член соответственно.

В данном случае, a = 1, b = 2(a-1) и c = a^2. Подставляем значения в формулу дискриминанта:

D = (2(a-1))^2 - 4*1*a^2.

Упрощая выражение в скобках:

D = 4(a-1)^2 - 4a^2.

Далее раскрываем скобки:

D = 4(a^2 - 2a + 1) - 4a^2.

Умножаем 4 на каждый член скобки:

D = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2.

Теперь объединяем подобные члены:

D = -8a + 4.

Dискриминант найден. Теперь напишем условие, при котором данное уравнение будет иметь единственное решение.

Уравнение квадратного типа имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю, то есть D = 0. Исходя из этого, составим уравнение:

-8a + 4 = 0.

Добавляем 8a к обеим частям уравнения:

8a = 4.

Делим обе части уравнения на 8:

a = 4/8.

Упрощаем дробь:

a = 1/2.

Таким образом, при значении параметра a = 1/2, уравнение x^2 + 2(a-1)x + a^2 = 0 имеет единственное решение.