1. а) Выражение под корнем всегда неотрицательно. Тогда D(y): б) Выражение в знаменателе не равно нулю. Тогда D(y): в) Выражение под корнем всегда неотрицательно. Тогда D(y): г) Выражение в знаменателе не равно нулю. Тогда D(y): (решение квадратного уравнение расписывать не буду, это алгоритм)
2. а) D(y) = (знаменатель в ноль не обращается) - симметричное множество. Функция нечётная б) D(y) = (ограничений нет) - симметричное множество. Функция чётная в) D(y) = (ограничений нет) - симметричное множество. Функция общего вида
3. а) Это прямая, k > 0, значит, функция всегда возрастает б) Это прямая, k < 0, значит, функция всегда убывает в) Это парабола, a > 0 (ветви направлены вверх), вершина имеет координату 0 по x (-b/2a = -0/4 = 0), значит, на (-∞; 0] убывает, на [0; +∞) возрастает
Без графиков можно так. Если (x₀,y₀) - какое-нибудь решение и |x₀|≠|y₀|, то (-x₀,-y₀), (y₀,x₀), (-y₀,-x₀) - еще 3 различных решения. Значит, чтобы было 2 решения, должно быть x₀=y₀, либо x₀=-y₀. 1) Если x₀=y₀, то |x₀|=1/2=|y₀|, откуда а=1/2. Из неравенства |x+y|≤|x|+|y|≤√(2(x²+y²)) верного для всех х,у при а=1/2 получаем 2-|x|-|у|≤|x|+|y|≤1, т.е. |x|+|y|=1. Подставляя это во второе уравнение системы, получим 4 точки, из которых подходят только две: (1/2;1/2) и (-1/2;-1/2). Т.е. при а=1/2 система действительно имеет только 2 решения. 2) Если x₀=-y₀, то |x₀|=1=|y₀|, откуда а=2. Из неравенства 2|x|=|(x+y)+х+(-у)|≤|x+у|+|x|+|y|=2, следует что |x|≤1 и аналогично |y|≤1, а значит x²+y²=2 может быть только если |x|=1 и |y|=1. Из 4 точек подходят только две (-1;1) и (1;-1), значит при а=2 система тоже имеет только 2 решения. Итак, ответ: а∈{1/2; 2}.
б) Выражение в знаменателе не равно нулю. Тогда D(y):
в) Выражение под корнем всегда неотрицательно. Тогда D(y):
г) Выражение в знаменателе не равно нулю. Тогда D(y): (решение квадратного уравнение расписывать не буду, это алгоритм)
2. а) D(y) =
Функция нечётная
б) D(y) =
Функция чётная
в) D(y) =
Функция общего вида
3. а) Это прямая, k > 0, значит, функция всегда возрастает
б) Это прямая, k < 0, значит, функция всегда убывает
в) Это парабола, a > 0 (ветви направлены вверх), вершина имеет координату 0 по x (-b/2a = -0/4 = 0), значит, на (-∞; 0] убывает, на [0; +∞) возрастает