Question

Cos4a+4cos2a+3=8cos^4a
доказать тождество

Answer 1

Для начала, давайте перепишем уравнение с использованием косинусов и знаков умножения:

cos^4(a) + 4cos^2(a) + 3 = 8cos^4(a)

Для доказательства данного тождества, нам понадобится использовать формулы тригонометрии. Давайте приступим к решению:

1. Заметим, что данное уравнение является тождеством, то есть верным при любом значении угла a.
2. Разложим каждое слагаемое на множители:

cos^4(a) = (cos^2(a))^2
cos^2(a) = (cos(a))^2

3. Заменим cos^2(a) и cos^4(a) в уравнении:

((cos(a))^2)^2 + 4(cos(a))^2 + 3 = 8(cos(a))^4

4. Упростим выражение:

(cos(a))^4 + 4(cos(a))^2 + 3 = 8(cos(a))^4

5. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

7(cos(a))^4 - 4(cos(a))^2 + 3 = 0

6. Данное уравнение является квадратным относительно (cos(a))^2. Давайте введем новую переменную x = (cos(a))^2:

7x^2 - 4x + 3 = 0

7. Решим полученное квадратное уравнение с использованием квадратного корня:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4*7*3)) / (2*7)

x = (4 ± √(16 - 84)) / 14

x = (4 ± √(-68)) / 14

Здесь мы сталкиваемся с проблемой, так как под корнем получается отрицательное число. Это означает, что уравнение не имеет решений.

8. Давайте вернемся к ранее введенной переменной x = (cos(a))^2 и учтем, что x является квадратом числа, поэтому его значения лежат между 0 и 1.

Таким образом, мы можем заключить, что уравнение 7x^2 - 4x + 3 = 0 не имеет решений в пределах допустимого диапазона значений x.

Поскольку x соответствует (cos(a))^2, то это означает, что у нас нет такого значения угла a, которое бы удовлетворяло данному уравнению.

9. Итак, мы доказали, что тождество Cos4a+4cos2a+3=8cos^4a не выполняется для любых значений угла a.

Надеюсь, объяснение было понятным и полным. Если у вас появятся еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!