Question

Определи все корни данного уравнения:
tg 5x - tg 3х/1+tg 5x *tg 3х=корень из 3

Answer 1

Корень будет tg+5x* Я вспомнил что мог

Answer 2

Для начала, давайте перепишем данное уравнение в более понятной форме:

tg(5x) - tg(3x)/(1 + tg(5x) * tg(3x)) = √3

Для того, чтобы определить все корни этого уравнения, мы будем использовать базовые свойства тригонометрии и алгебры. Давайте разберемся с каждым шагом подробно:

Шаг 1: Упрощение уравнения
Воспользуемся свойствами тригонометрии, чтобы упростить данное уравнение. Заметим, что у нас есть тангенсы с суммами или разностями углов в числителе и знаменателе. Это подсказывает нам использовать формулу тангенса суммы или разности углов:

tg(A ± B) = (tg(A) ± tg(B))/(1 ∓ tg(A)tg(B))

Используя эту формулу, можем переписать уравнение следующим образом:

(tg(5x) - tg(3x))/(1 + tg(5x) * tg(3x)) = √3

Теперь у нас тангенсы находятся в одном выражении в числителе и они относятся к сумме углов.

Шаг 2: Используем общую формулу тригонометрии
Воспользуемся общей формулой тригонометрии, которая связывает тангенс и синус:

tg(x) = sin(x)/cos(x)

Заменим в уравнении тангенсы на их эквивалентные выражения:

(sin(5x)/cos(5x) - sin(3x)/cos(3x))/(1 + sin(5x)/cos(5x) * sin(3x)/cos(3x)) = √3

Шаг 3: Упрощение дроби
Для упрощения дроби, умножим числитель и знаменатель на cos(5x) * cos(3x):

[(sin(5x) * cos(3x) - sin(3x) * cos(5x)) / (cos(5x) * cos(3x))] / [(cos(5x) * cos(3x) + sin(5x) * sin(3x)) / (cos(5x) * cos(3x))]

=(sin(5x) * cos(3x) - sin(3x) * cos(5x)) / (cos(5x) * cos(3x) + sin(5x) * sin(3x))

Теперь у нас получилась дробь с разностями и суммами тригонометрических функций.

Шаг 4: Используем формулу разности тригонометрических функций
Воспользуемся формулой разности тригонометрических функций для упрощения дроби:

sin(A - B) = sin(A) * cos(B) - cos(A) * sin(B)

(sin(5x) * cos(3x) - sin(3x) * cos(5x)) / (cos(5x) * cos(3x) + sin(5x) * sin(3x))

= sin(5x - 3x) / cos(5x + 3x)

= sin(2x) / cos(8x)

Шаг 5: Используем формулу тангенса
Теперь у нас находится отношение синуса и косинуса. Воспользуемся формулой тангенса:

tg(x) = sin(x) / cos(x)

sin(2x) / cos(8x) = tg(2x) * cos(2x) / cos(8x)

= tg(2x) * (2 * cos^2(x) - 1) / (2cos^2(4x) - 1)

Теперь у нас получилось уравнение только с тангенсами и косинусами.

Шаг 6: Подстановка корня
Мы знаем, что tg(x) = √3. Подставим это в наше уравнение:

√3 * (2 * cos^2(x) - 1) / (2cos^2(4x) - 1) = √3

Упростим это уравнение:

2 * cos^2(x) - 1 = 2cos^2(4x) - 1

2cos^2(4x) = 2 * cos^2(x)

cos^2(4x) = cos^2(x)

Шаг 7: Разложение косинуса в квадрат
Воспользуемся формулой разложения косинуса в квадрат:

cos^2(A) = (cos(2A) + 1) / 2

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

cos^2(4x) = cos^2(x)

(cos(8x) + 1) / 2 = (cos(2x) + 1) / 2

cos(8x) = cos(2x)

Шаг 8: Решение тригонометрического уравнения
Для решения тригонометрического уравнения cos(A) = cos(B), мы должны рассмотреть два случая:

1) A = B + 2πk, где k - любое целое число
2) A = -B + 2πk, где k - любое целое число

В нашем случае:

8x = 2x + 2πk, или 8x = -2x + 2πk

Для первого случая, мы имеем:

8x - 2x = 2πk

6x = 2πk

x = (2πk) / 6

x = (πk) / 3

Для второго случая, мы имеем:

8x + 2x = 2πk

10x = 2πk

x = (2πk) / 10

x = (πk) / 5

Таким образом, все значения x вида (πk) / 3 и (πk) / 5 являются корнями данного уравнения.

Для окончательного ответа, мы можем записать корни следующим образом:

x = (πk) / 3, где k - целое число
и
x = (πk) / 5, где k - целое число

Это даст нам все корни исходного уравнения tg(5x) - tg(3x)/(1 + tg(5x) * tg(3x)) = √3.