Question

ТРИ ПРИМЕРАДАЮ ПО 5 ЗА КАЖДЫЙ

Answer 1

Объяснение:

$4)\int\limits \frac{1}{x} \times (1 + { ln(x) }^{2} )dx = \int\limits(1 + { ln(x) }^{2} )d( ln(x) ) = \int\limits \: d( ln(x) ) + \int\limits { ln(x) }^{2} d( ln(x)) = ln(x) + \frac{ { ln(x) }^{3} }{3} + C$

$\int\limits \frac{x}{ \sqrt{2 + {x}^{2} } } dx = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{ \sqrt{2 + {x}^{2} } } = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 2) }{ {( {x}^{2} + 2) }^{ \frac{1}{2} } } = \frac{1}{2} \times \frac{ {( {x}^{2} + 2) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C = \sqrt{2 + {x}^{2} } + C$

$\int\limits \: arctg(x)dx$

по частям:

$U = arctgx \: \: \: \: \: \: \: dU = \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ dV = dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = \int\limits \: dx = x$

$UV - \int\limits \: VdU$

$xarctg(x) - \int\limits \frac{xdx}{1 + {x}^{2} } = xarctg(x) - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{1 + {x}^{2} } = xarctg(x) - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2} )}{1 + {x}^{2} } = xarctg(x) - \frac{1}{2 } ln(1 + {x}^{2} ) + C$