Question

А) Докажите, переменная что xn=5-n является бесконечно большой,пользуясь определением бесконечной большой(на языке «M-N») б) Чему равен lim xn, где n->+бесконечности

Answer 1

Добрый день! С удовольствием помогу вам разобраться с этим вопросом.

а) Чтобы доказать, что переменная xn=5-n является бесконечно большой, используя определение бесконечной большой, мы должны показать, что для любого произвольного положительного числа M существует такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется условие xn > M.

Давайте попробуем найти такое натуральное число N для произвольного M.

Мы знаем, что xn = 5-n. Теперь попробуем найти такое N, чтобы для всех n > N выполнялось условие xn > M. Для этого нам нужно найти максимальное значение n при котором xn > M.

Уравнение xn = 5-n можно переписать в виде: xn = 1/(5n)

Поставим условие xn > M:
1/(5n) > M

Получаем: 5n < 1/M

Теперь давайте решим это неравенство относительно n:

n < 1/(5M)

Таким образом, мы нашли такое натуральное число N, равное 1/(5M), для которого для всех n > N выполняется условие xn > M.

Значит, переменная xn = 5-n является бесконечно большой по определению.

б) Теперь давайте рассмотрим предел xn при n -> +бесконечности:

lim xn = lim (5-n)

Предел можно вычислить, заметив, что при n -> +бесконечности значение 5-n стремится к нулю. Поясню, почему:

Если мы возьмем очень большое значение n, например, 1000, то 5-1000 будет очень маленьким числом. Если увеличим n еще больше, скажем, до 10000, то 5-10000 будет еще меньше. Чем больше значение n, тем меньше будет результат 5-n.

Таким образом, lim xn = lim (5-n) = 0 при n -> +бесконечности.

Итак, lim xn = 0 при n -> +бесконечности.

Надеюсь, я смог вам помочь разобраться с этим вопросом. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!