Question

Решить по формуле Бернулли. Стрелок стреляет по мишени 5 раз. Вероятность того, что он попадет в
мишень, равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок:
а) попадет в мишень ровно два раза;
б) более трех раз;
в) менее двух раз;
г) нечетное число раз;
д) не менее трех раз и не более четырех раз;
е) либо четыре раза, либо ни разу.

Answer 1

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой Бернулли, которая позволяет найти вероятность события в серии независимых испытаний.

Формула Бернулли имеет следующий вид:

P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где P(k) - вероятность события произойти k раз,
n - общее количество испытаний,
k - количество успешных испытаний (в данном случае попаданий в мишень),
p - вероятность успешного испытания (в данном случае попасть в мишень),
C(n, k) - количество сочетаний из n по k.

а) Вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно два раза:
P(2) = C(5, 2) * 0.7^2 * (1-0.7)^(5-2)
= 10 * 0.49 * 0.027
≈ 0.1323 (округляем до четырех знаков после запятой)

б) Вероятность того, что стрелок попадет в мишень более трех раз:
P(>3) = P(4) + P(5)
= C(5, 4) * 0.7^4 * (1-0.7)^(5-4) + C(5, 5) * 0.7^5 * (1-0.7)^(5-5)
= 5 * 0.24 * 0.3 + 1 * 0.168
≈ 0.444 (округляем до трех знаков после запятой)

в) Вероятность того, что стрелок попадет в мишень менее двух раз:
P(<2) = P(0) + P(1)
= C(5, 0) * 0.7^0 * (1-0.7)^(5-0) + C(5, 1) * 0.7^1 * (1-0.7)^(5-1)
= 1 * 1 * 0.168 + 5 * 0.7 * 0.072
≈ 0.108 (округляем до трех знаков после запятой)

г) Вероятность того, что стрелок попадет в мишень нечетное число раз:
P(нечет) = P(1) + P(3) + P(5)
= C(5, 1) * 0.7^1 * (1-0.7)^(5-1) + C(5, 3) * 0.7^3 * (1-0.7)^(5-3) + C(5, 5) * 0.7^5 * (1-0.7)^(5-5)
= 5 * 0.7 * 0.072 + 10 * 0.343 * 0.027 + 1 * 0.168
≈ 0.797 (округляем до трех знаков после запятой)

д) Вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее трех раз и не более четырех раз:
P(3≤≤4) = P(3) + P(4)
= C(5, 3) * 0.7^3 * (1-0.7)^(5-3) + C(5, 4) * 0.7^4 * (1-0.7)^(5-4)
= 10 * 0.343 * 0.027 + 5 * 0.24 * 0.3
≈ 0.343 (округляем до трех знаков после запятой)

е) Вероятность того, что стрелок попадет в мишень либо четыре раза, либо ни разу:
P(4 или 0) = P(4) + P(0)
= C(5, 4) * 0.7^4 * (1-0.7)^(5-4) + C(5, 0) * 0.7^0 * (1-0.7)^(5-0)
= 5 * 0.24 * 0.3 + 1 * 1 * 0.168
≈ 0.528 (округляем до трех знаков после запятой)

Таким образом, мы нашли вероятности для каждого варианта. Школьнику следует использовать данные значения для решения данной задачи по формуле Бернулли и сделать выводы.