Система уравнений имеет два решения:
1)[(1-2√3/2 (≈ -1,5); 7-4√3/2 (≈2,1)];
2)[1+2√3/2 (≈3,5); 7+4√3/2 (≈11,9)].
Объяснение:
Определите графически количество решение системы уравнений:
y=x²
y-2x-5=0
Преобразуем второе уравнение в уравнение функции:
y-2x-5=0
у=2х+5
Построим графики функций. Первый - парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх; второй - прямая линия.
Придаём значения х, подставляем в уравнение, вычисляем у, записываем в таблицу.
y=x² у=2х+5
Таблицы:
х -3 -2 -1 0 1 2 3 х -1 0 1
у 9 4 1 0 1 4 9 у 3 5 7
На графике прямая у=2х+5 пересекает параболу в двух точках, но значения очень приблизительные.
Определим координаты этих точек расчётами.
Приравняем правые части уравнений (левые равны) и вычислим х:
x²=2х+5
x²-2х-5=0, квадратное уравнение, ищем корни:
х₁,₂=(2±√4+20)/2
х₁,₂=(2±√24)/2
х₁,₂=(2±√16*3/2)/2
х₁,₂=(2±4√3/2)/2
х₁=1-2√3/2 (≈ -1,5)
х₂=1+2√3/2 (≈3,5)
Вычислим значения у координат точек пересечения:
у=2х+5
у₁=2(1-2√3/2)+5
у₁=2-4√3/2+5
у₁=7-4√3/2 (≈2,1)
у₂=2(1+2√3/2)+5
у₂=2+4√3/2+5
у₂=7+4√3/2 (≈11,9)
Координаты первой точки пересечения графиков: [(1-2√3/2 (≈ -1,5); 7-4√3/2 (≈2,1)];
Координаты второй точки пересечения графиков: [1+2√3/2 (≈3,5); 7+4√3/2 (≈11,9)]
Объяснение:
Последовательность называется возрастающей, если для любого n∈N выполняется неравенство yn<yn+1.
Последовательность называется убывающей, если для любого n∈N выполняется неравенство yn>yn+1.
Выпишем n-й и n+1-й члены последовательности: yn=n213n, yn+1=(n+1)213n+1.
Чтобы сравнить эти члены, составим их разность и оценим её знак:
yn+1−yn=(n+1)213n+1−n213n=(n2+2n+1)−13n213n+1=2n+1−12n213n+1
Для натуральных значений n справедливы неравенства 2n≤6n2 и 1<6n2.
Сложив их, получим 1+2n<12n2, т.е. для любых натуральных значений n справедливо неравенство 2n+1−12n213n+1<0, значит, yn+1−yn<0.
Итак, для любых натуральных значений n выполняется неравенство yn+1<yn,
а это значит, что последовательность (yn) убывает.