Question

Найдите сумму первых пяти членов прогрессии (корень из 2)\(2) , (корень из 2)\(4) , (корень из 2)\(8)

Answer 1

Дана геометрическая прогрессия:
$\frac{ \sqrt{2} }{2} ; \:\:\:\: \frac{ \sqrt{2} }{4} ; \:\:\:\: \frac{ \sqrt{2} }{8} ;$

Отсюда, первый член геометрической прогрессии равен:
$b_1 = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Знаменатель прогресии (отношение члена геометрической прогрессии к предыдущему):
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{ \sqrt{2} }{4}}{\frac{ \sqrt{2} }{2}} = \frac{ \sqrt{2} }{4}} * \frac{2}{ \sqrt{2} } = \frac{1}{2}$

Сумму n первых членов геометрической прогрессии вычисляем по формуле:
$S_n = \frac{b_1 (1-q^n)}{1-q}$

Подставляем в формулу n=5 и, определённые выше, значения:
 $S_5 = \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2}*(1-( \frac{1}{2} )^5)}{1- \frac{1}{2} } = \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2}*(1 - \frac{1}{32})}{ \frac{1}{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}*(1 - \frac{1}{32}) * 2 = \sqrt{2} * \frac{31}{32}$