Question

Развить функцию f(x) в ряд фурье на заданом промежутке с подробным решением

Answer 1

$a_0=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\int\limits_{-\pi}^0 (2x+3)\,dx=(x^2+3x)_{-\pi}^0=3\pi-\pi^2\\ a_k=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx=\int\limits_{-\pi}^0(2x+3)\cos kx\,dx=\dots\\ \int x\cos kx\, dx=\dfrac1k x\sin kx-\dfrac 1k \int \sin kx\,dx=\dfrac1k x\sin kx+\\+\dfrac1{k^2}\cos kx+C\\ a_k=\dfrac{2}{k^2}(1-(-1)^k)\\ b_k=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx=\int\limits_{-\pi}^0(2x+3)\sin kx\,dx=\dots\\ \int x\sin kx\, dx=-\dfrac1k x\cos kx+\dfrac 1k \int \cos kx\,dx=-\dfrac1k x\cos kx+\\$

$+\dfrac1{k^2}\sin kx+C\\ b_k=\dfrac{(-1)^{k+1}\pi}k\\ f(x)\sim \dfrac{a_0}2+\sum\limits_{1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$