Question

Разбирая задачи по Принципу Дирихле, О.Е. заявила, что среди любых 2020 натуральных чисел, всегда можно
выбрать три (X, Y, Z) такие, что выражение

X *(Y − Z)
будет

кратно 2021. Не ошиблась ли О.Е.?

Answer 1

Рассмотрим ряд из произвольных 2020 натуральных чисел . Каждое из них при делении на 2021 может давать остатки от 0 до 2020 .

Возможны три случая :

1) Среди произвольных 2020 натуральных чисел найдётся по крайней мере одно число, дающее остаток 0 при делении на 2021. То есть число кратное 2021. Тогда выбираем это число в качестве x = 2021k и выражение x(y - z) = 2021k(y - z) кратно 2021.

2)Среди произвольных 2020 натуральных чисел найдутся по крайней мере два дающие одинаковые остатки при делении на 2021 .

Тогда выбираем их в качестве y и z . К примеру :

y = 2021k +m, z = 2021n + m и выражение

x(y -z) = x(2021k + m - 2021n - m) = 2021x(k-n) кратно 2021 .

3)Среди произвольных 2020 натуральных чисел нет ни чисел, дающих при делении на 2021 остаток 0, ни чисел, дающих одинаковые остатки.

Но тогда в ряду из 2020 чисел представлены все возможные остатки от 1 до 2020 . Заметим что 2021 = 43 * 47 . Из них в качестве х выбираем, к примеру, число, дающее при делении на 2021 остаток 43, в качестве y число , дающее остаток 48, а в качестве z число ,  дающее

остаток 41 . Тогда выражение

x(y - z) = (2021k + 43)(2021m + 48 - 2021n - 41) =

= (2021k + 43)(2021m - 2021n + 47) =(2021k + 43)[2021(m - n) + 47] =

= 2021²k(m - n) + 47 * 2021k + 43 *2021(m - n) + 43 * 47 =

= 2021[2021k(m - n) + 47k + 43(m - n) + 1] вновь кратно 2021 .

O. E. не ошиблась