Два станка A и B производят соответственно 40% и 60% изделий. 3% изделий, произведенных станком A и 5% изделий, произведенных станком B являются дефектными. a) Изделие выбирается случайным образом. Найдите вероятность того что изделие является дефектным.
б) Изделие было выбрано случайным образом и обнаружилось что оно дефектное. Найдите вероятность того, что это изделие было произведено станком B.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B),
где P(A|B) - условная вероятность события A при условии наступления события B,
P(A ∩ B) - вероятность одновременного наступления событий A и B,
P(B) - вероятность наступления события B.
а) В данном случае нам требуется найти вероятность того, что выбранное изделие является дефектным. Мы знаем, что 3% изделий, произведенных станком A, являются дефектными, и 5% изделий, произведенных станком B, являются дефектными. Таким образом, вероятность, что выбранное изделие является дефектным, можно определить следующим образом:
P(дефектное изделие) = P(дефектное изделие | станок A) * P(станок A) + P(дефектное изделие | станок B) * P(станок B).
P(дефектное изделие | станок A) = 3% = 0.03 (вероятность дефектного изделия при условии, что оно произведено на станке A),
P(станок A) = 40% = 0.4 (вероятность выбора изделия, произведенного на станке A),
P(дефектное изделие | станок B) = 5% = 0.05 (вероятность дефектного изделия при условии, что оно произведено на станке B),
P(станок B) = 60% = 0.6 (вероятность выбора изделия, произведенного на станке B).
Теперь можем подставить значения в формулу:
P(дефектное изделие) = 0.03 * 0.4 + 0.05 * 0.6,
P(дефектное изделие) = 0.012 + 0.03,
P(дефектное изделие) = 0.042.
Таким образом, вероятность того, что выбранное изделие является дефектным, составляет 0.042 или 4.2%.
б) В данной части задачи нам требуется найти вероятность того, что обнаруженное дефектное изделие было произведено на станке B. Для этого мы используем формулу условной вероятности:
P(станок B | дефектное изделие) = P(станок B ∩ дефектное изделие) / P(дефектное изделие).
P(станок B ∩ дефектное изделие) - вероятность того, что изделие является дефектным и было произведено на станке B,
P(дефектное изделие) - вероятность выбора дефектного изделия.
Мы знаем, что вероятность, что изделие является дефектным, составляет 0.042 или 4.2%, и вероятность, что изделие является дефектным и было произведено на станке B, равна 0.05 или 5%.
Таким образом, можем подставить значения в формулу:
P(станок B | дефектное изделие) = 0.05 / 0.042,
P(станок B | дефектное изделие) ≈ 1.19 или 119%.
Таким образом, вероятность того, что обнаруженное дефектное изделие было произведено на станке B, составляет примерно 1.19 или 119%. Поясню, что результат больше 100% можно получить в таких случаях, когда предполагаемый результат на самом деле более вероятен, чем результат, который является базовым для нашего сравнения. В данном случае, станок B имеет большую вероятность производства дефектных изделий (5%), чем общая доля дефектных изделий в выборке (4.2%), что и объясняет значение вероятности больше 100%.