х км/год - власна швидкість човна
х - 6 км/год - швидкість човна проти течії
х + 6 км/год - швидкість човна за течією
72/(х - 6) год - час руху проти течії
72/(х + 6) год - час руху за течією
Складаємо рівняння:
72/(х - 6) + 72/(х + 6) = 5|·(x - 6)(x + 6), де x ≠ ±6;
72(x + 6) + 72(x - 6) = 5·(x - 6)(x + 6);
72x + 72·6 + 72x - 72·6 = 5·(x² - 36);
144x = 5x² - 180;
5x² - 144x - 180 = 0;
D = 144² + 4·5·180 = 16(9·144 + 5·45) = 16·9(144+25) = 16·9·169;
√D = 4·3·13 = 156;
x₁ = (144 + 156)/10 = 30; x₂ = (144 - 156)/10 = -1.2 - не задовольняє умову задачі.
Отже власна швидкість катера дорівнює 30 км/год.
б) f(x)=2x+cos(4x-пи) = 2x - cos4x
f `(x) = 2 + 4sin4x
1) f `(x) = 0
2 + 4sin4x = 0
4sin4x = - 2
sin4x = - 1/2
4x = (-1)^(n) arcsin(-1/2) + πk, k ∈ Z
4x = (-1)^(n+1) arcsin(1/2) + πk, k ∈ Z
4x = (-1)^(n+1) (π/6) + πk, k ∈ Z
x = (-1)^(n+1) (π/24) + πk/4, k ∈ Z
2) f `(x) > 0
2 + 4sin4x > 0
sin4x > - 1/2
arcsin(- 1/2) + 2πn < 4x < π - arcsin(-1/2) + 2πn, n ∈ Z
- π/6 + 2πn < 4x < π + π/6 + 2πn, n ∈ Z
- π/24 + πn/2 < x < 7π/24 + πn/2, n ∈ Z
в) f(x) = cos2x
f `(x) = - 2sin2x
1) f `(x) = 0
- 2sin2x = 0
sin2x = 0
2x = πk, k ∈ Z
x = πk/2, k ∈ Z
2) - 2sin2x > 0
sin2x < 0
- π - arcsin0 + 2πn < 2x < arcsin0 + 2πn, n ∈ Z
- π + 2πn < 2x < 2πn, n ∈ Z
- π/2 + πn < x < πn, n ∈ Z