Думаю, что нет скобок на месте. Неравенство скорее всего выглядит так: (x^2-6x)/5+5/(x^2-6x+10)>=0 Делаем замену: x^2-6x=t⇒t/5+5/(t+10)>=0 5*(t+10) - общий знаменатель. После приведения к общему знаменателю дробь выглядит так: (t*(t+10)+25)/(5*(t+10))>=0; умножаем обе части на 5⇒ (t^2+10t+25)/(t+10)>=0⇒((t+5)^2)/(t+10)>=0⇒(t+5)^2*(t+10)>=0 и t≠-10 Равенство нулю достигается при t=-5 и t=-10 Эти значения разбивают числовую ось на 3 интервала: (-беск; -10); (-10;-5]; (-5;+беск) По методу интервалов в крайнем справа будет +. -5 корень четной кратности⇒в интервале (-10; -5] тоже будет + В крайнем слева будет -. Решением неравенства является интервал (-10; +беск), т.е. t>-10 Этот же результат можно получить еще проще. Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Видим, что числитель >=0 для всех t, значит и знаменатель должен быть >0, т.е. t>-10 Возвращаемся к переменной x. x^2-6x>-10⇒x^2-6x+10>0 график - парабола, ветви направлены вверх D=b^2-4ac=36-40<0⇒неравенство верно для всех x Так как неравенство нестрогое,то находим решение уравнения x^2-6x=-5⇒x^2-6x+5=0⇒x1=5; x2=1
2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.
5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.
6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).
В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.
Найти первую производную функции
Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.
7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).
Найти вторую производную функции
8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.
5(корень из 12)*4(корень из 2)/25(корень из 6) = (20*2*(корень из 6))/(25(корень из 6)) = 40/25=8/5