Question

(x^2+2x)^2-2(x+1)^2=1 решить уравнение, : )

Answer 1

(x²+2x)²-2(x+1)² = 1

(x²+2x)²-1²-2(x+1)² = 0

Применим формулу разности квадратов a²-b²=(a+b)(a-b)

(x²+2x+1)(x²+2x-1)-2(x+1)² = 0

Выделим полный квадрат для выражения в левой скобке.

(x+1)²(x²+2x-1)-2(x+1)² = 0

Вынесем общий множитель за скобку.

(x+1)²·(x²+2x-1-2) = 0

Разложим выражение в правой скобке на множители: x²+3x-x-3 = x(x+3)-(x+3) = (x+3)(x-1).

(x+1)²(x+3)(x-1) = 0

$\displaystyle \begin{bmatrix}(x+1)^2 =0\\ x+3=0\\ x-1=0\end{matrix} \quad \begin{bmatrix}x+1=0\\ x=-3\; \; \;\\ x=1\quad \end{matrix} \quad x=\{ -1;-3;1\}$

ответ: x = { -3 ; ±1 }.

Answer 2

(x^2+2x)^2-2(x+1)^2=1

{(x+1)² = x² + 2x + 1}

Замена x²+2x = t

t² - 2(t+ 1) = 1

t² - 2t - 2 -1 = 0

t² - 2t - 3 = 0

D=b² - 4ac = 4+12 = 16 =4²

t12 = (2+-4)/2 = -1 , 3

переходим от t к х (два варианта)

1. x²+2x = -1

x² + 2x + 1= (x+1)² = 0

x₁=-1

2. x² + 2x = 3

x² + 2x - 3 =0

D= 2² - 4*(-3)*1 = 4 + 12 = 16 = 4²

x₂₃ = (-2 +-4)/2 = -3 ,  1

ответ  x={-3, -1, 1}