Question

Решите биквадратное уравнение, используя метод замены переменной:

Answer 1

а) t²-17t+16=0

D=289-4*1*16=225

t1=17+15/2=16

t2=17-15/2=1

b) t²+5t-36=0

D=25-4*1*(-36)=169

t1=-5+13/2=4

t2=-5-13/2=-9

Answer 2

а)

$x^4 - 17x^2 + 16 = 0$

Введём замену: $t = x^2\ ,\ t\geq 0$

$t^2 - 17t + 16 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}t_{1}t_{2} = 16\\t_{1}+t_{2} = 17\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| t = 16\ ;\ t = 1$

Обратная замена:

$$\left[\begin{gathered}x^2 = 16\\x^2 = 1\end{gathered}\ \ \ \ \Rightarrow\ \left[\begin{gathered}x = \pm4 \\x = \pm 1\end{gathered}$

ответ: -4; -1; 1; 4

б)

$x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

Введём замену: $t = x^2\ ,\ t\geq 0$

$t^2 + 5t - 36 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}t_{1}t_{2} = -36\\t_{1} + t_{2} = -5\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| t = - 9\ ,\ t = 4\ \ \ \ \Rightarrow \boxed{\textbf{t = 4}}$

Из этого случая понятно, зачем писать область значений замены рядом с ней. Если брать  $t = -9$, то при обратной замене корней у получившегося уравнения не будет, поэтому учитывать данное значение не имеет смысла.

Обратная замена:

$x^2 = 4\\\\x = \pm 2$

ответ: -2; 2.