Question

26.9. Сколько точек пересечения имеют графики функций у = ах² и y = bx³, если:
1) а = 3, b = 2;
3) а = 0,2, b = -0,2;
2) а = -3, b = 0,2;
4) а = -4, b = -2
​

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы должны найти точки пересечения графиков функций у = ах² и y = bx³.

Для начала, подставим функции с заданными значениями а и b:

1) а = 3, b = 2:
y = 3х² и у = 2х³

2) а = -3, b = 0,2:
y = -3х² и у = 0,2х³

3) а = 0,2, b = -0,2:
y = 0,2х² и у = -0,2х³

4) а = -4, b = -2:
y = -4х² и у = -2х³

Теперь мы должны найти точки пересечения, то есть значения х, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Для этого уравняем правые части уравнений:

1) 3х² = 2х³
Распределим члены на одной стороне:
2х³ - 3х² = 0
На левой стороне есть общий множитель 2х²:
х²(2х - 3) = 0
Таким образом, мы имеем два возможных значения х:
х₁ = 0
2х - 3 = 0
2х = 3
х₂ = 3/2 = 1.5

2) -3х² = 0,2х³
Распределим члены на одной стороне:
0,2х³ + 3х² = 0
На обеих сторонах есть общий множитель 0,2х²:
0,2х²(х + 15) = 0
Таким образом, мы имеем два возможных значения х:
х₁ = 0
х + 15 = 0
х₂ = -15

3) 0,2х² = -0,2х³
Распределим члены на одной стороне:
-0,2х³ - 0,2х² = 0
На обеих сторонах есть общий множитель -0,2х²:
-0,2х²(х + 1) = 0
Таким образом, мы имеем два возможных значения х:
х₁ = 0
х + 1 = 0
х₂ = -1

4) -4х² = -2х³
Распределим члены на одной стороне:
-2х³ + 4х² = 0
На обеих сторонах есть общий множитель -2х²:
-2х²(х - 2) = 0
Таким образом, мы имеем два возможных значения х:
х₁ = 0
х - 2 = 0
х₂ = 2

Теперь, когда мы нашли значения х, подставим их в исходные уравнения, чтобы найти соответствующие значения y:

1) а = 3, b = 2:
Подставим х₁ = 0 в оба уравнения:
у₁ = 3 * 0² = 0
у₁ = 2 * 0³ = 0
Таким образом, точка пересечения (0, 0) является одной из точек для этого случая.

Подставим х₂ = 1.5 в оба уравнения:
у₂ = 3 * 1.5² = 6.75
у₂ = 2 * 1.5³ = 6.75
Таким образом, вторая точка пересечения (1.5, 6.75) также является точкой для этого случая.

2) а = -3, b = 0,2:
Подставим х₁ = 0 в оба уравнения:
у₁ = -3 * 0² = 0
у₁ = 0,2 * 0³ = 0
Точка пересечения (0, 0) является одной из точек для этого случая.

Подставим х₂ = -15 в оба уравнения:
у₂ = -3 * (-15)² = 675
у₂ = 0,2 * (-15)³ = -675
Вторая точка пересечения (-15, 675) также является точкой для этого случая.

3) а = 0,2, b = -0,2:
Подставим х₁ = 0 в оба уравнения:
у₁ = 0,2 * 0² = 0
у₁ = -0,2 * 0³ = 0
Точка пересечения (0, 0) является одной из точек для этого случая.

Подставим х₂ = -1 в оба уравнения:
у₂ = 0,2 * (-1)² = 0,2
у₂ = -0,2 * (-1)³ = -0,2
Вторая точка пересечения (-1, 0,2) также является точкой для этого случая.

4) а = -4, b = -2:
Подставим х₁ = 0 в оба уравнения:
у₁ = -4 * 0² = 0
у₁ = -2 * 0³ = 0
Точка пересечения (0, 0) является одной из точек для этого случая.

Подставим х₂ = 2 в оба уравнения:
у₂ = -4 * 2² = -16
у₂ = -2 * 2³ = -16
Вторая точка пересечения (2, -16) также является точкой для этого случая.

Таким образом, ответы на каждый пункт вопроса следующие:

1) Графики функций у = ах² и у = bx³ пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1.5, 6.75).

2) Графики функций у = ах² и у = bx³ пересекаются в двух точках: (0, 0) и (-15, 675).

3) Графики функций у = ах² и у = bx³ пересекаются в двух точках: (0, 0) и (-1, 0.2).

4) Графики функций у = ах² и у = bx³ пересекаются в двух точках: (0, 0) и (2, -16).

Ответы представлены в виде координат точек пересечения (x, y).