Question

Составить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни определённой кратности
а1=2 а2=3-i второй кратности. а3=-i второй кратности

Answer 1

Здравствуй, я буду выступать в роли твоего школьного учителя и помогу тебе решить задачу по составлению многочлена.

Для начала, давай разберемся, что означает "корни определенной кратности". Корень многочлена это такое значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю. Кратность корня говорит о том, сколько раз он встречается в многочлене.

Теперь составим многочлен наименьшей степени с заданными корнями. Мы можем использовать следующий подход:

1. Запишем сначала корни с их кратностями:
а1 = 2 (второй кратности)
а2 = 3 - i (второй кратности)
а3 = -i (второй кратности)

2. У нас имеются комплексные корни, поэтому мы должны учесть, что если есть корень a, то комплексно сопряженный ему корень a* также будет иметь ту же самую кратность.

3. Мы знаем, что кратность корня определяется его возведением в степень, поэтому мы можем записать корни в виде:
а1 = 2^2 = 4
а2 = (3 - i)^2 = (3 - i)(3 - i) = 9 - 3i - 3i + i^2 = 9 - 6i + i^2
а3 = (-i)^2 = i^2 = -1

4. Составим многочлен с этими корнями, используя их кратности:
(x - а1)(x - а1)(x - а2)(x - а2)(x - а3)(x - а3)
= (x - 4)(x - 4)(x - (9 - 6i + i^2))(x - (9 - 6i + i^2))(x - (-1))(x - (-1))

5. Упростим многочлен, раскрыв скобки и объединив подобные слагаемые:
(x - 4)(x - 4)(x - 9 + 6i - i^2)(x - 9 + 6i - i^2)(x + 1)(x + 1)
= (x^2 - 8x + 16)[(x - 9) + 6i + (-1)][(x - 9) + 6i + (-1)](x^2 + 2x + 1)

6. Дальше нам нужно упростить выражения внутри квадратных скобок, и мы знаем, что i^2 = -1:
(x^2 - 8x + 16)(x - 10 + 6i)(x - 10 + 6i)(x^2 + 2x + 1)

7. Далее умножим все части многочлена друг на друга:
(x^2 - 8x + 16)(x^2 - 20x + 136 - 36i + 12i - 36i^2)(x^2 + 2x + 1)

8. Упростим этот многочлен, учитывая, что i^2 = -1:
(x^2 - 8x + 16)(x^2 - 20x + 136 - 24i - 36)(x^2 + 2x + 1)

9. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
(x^2 - 8x + 16)(x^2 - 20x + 100 - 24i)(x^2 + 2x + 1)
= (x^4 - 20x^3 + 100x^2 - 24ix^2 - 8x^3 + 160x^2 - 800x + 192ix - 192ix^2 + 384x - 600 + 480i + 16x^2 - 320x + 1600 - 384ix + 48ix + 96i^2)
= x^4 - 28x^3 + 252x^2 - 1120x + 1000 - 320i + 16ix

Таким образом, получаем искомый многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами:
f(x) = x^4 - 28x^3 + 252x^2 - 1120x + 1000 - 320i + 16ix

Надеюсь, я смог объяснить тебе это задание достаточно подробно. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!