Question

6sin^2x-11cosx-10=0 sin^2x+5sinxcosx+6cos^2x=0 4tgx-12ctdx+13=0 5-8cos^x=sin2x 7sin2x+9cos2x=-7

Answer 1

$6\sin^2x-11\cos x-10=0\\ \\ 6(1-\cos^2x)-11\cos x-10=0\\ \\ 6-6\cos^2x-11\cos x-10=0\\ \\ 6\cos^2x+11\cos x+4=0$

Решим уравнение как квадратное уравнение относительно cos x.

$D=b^2-4ac=11^2-4\cdot6\cdot4=25$

$\cos x= \dfrac{-11+5}{12} =- \dfrac{1}{2} ~~\Rightarrow~~~ \boxed{x=\pm \frac{2 \pi }{3}+2 \pi n,n \in \mathbb{Z} }$

$\cos x= \dfrac{-11-5}{12} \ \textless \ -1$ - решений не имеет.

$\sin^2x+5\sin x\cos x+6\cos^2x=0$

Это однородное уравнение. Разделим левую и правую части уравнения на

$\cos^2x\ne0$, получаем  $tg^2x+5tgx+6=0$

Решая уравнение как квадратное уравнение относительно tg x, по теореме

Виета имеем, что

$tgx=-3;~~~\Rightarrow~~~~ x=-arctg3+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ tgx=-2;~~~\Rightarrow~~~~ x=-arctg2+ \pi n,n \in \mathbb{Z}$

$4tgx-12ctgx+13=0~~~|\cdot tgx\\ \\ 4tg^2x+13tgx-12=0$

Решаем уравнение как квадратное уравнение относительно tgx

$D=b^2-4ac=13^2+4\cdot4\cdot12=361$

$tgx=-4;~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x=-arctg4+ \pi n,n \in \mathbb{Z}}\\ \\ tgx=0.75;~~\Rightarrow~~~~ \boxed{x=arctg0.75+ \pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$5-8\cos^2x=\sin2x\\ \\ 5\sin^2x+5\cos^2x-8\cos^2x-\sin2x=0\\ \\ 5\sin^2x-2\sin x\cos x-3\cos^2x=0~~~~|:\cos^2x\ne 0\\ \\ 5tg^2x-2tgx-3=0\\ \\ D=(-2)^2-4\cdot5\cdot(-3)=64\\ \\ tgx=1;~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x= \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in \mathbb{Z} }\\ \\ tgx=- \dfrac{3}{5} ;~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x=-arctg \dfrac{3}{5} + \pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$7\sin 2x+9\cos 2x=-7$
По формуле содержащего дополнительного угла, имеем что

$\sqrt{7^2+9^2} \sin(2x+\arcsin \frac{9}{\sqrt{7^2+9^2}} )=-7\\\\ \sqrt{130} \sin(2x+\arcsin \frac{9}{\sqrt{130} } )=-7\\ \\ \boxed{x=(-1)^{k+1}\cdot0.5\arcsin \frac{7}{\sqrt{130} } -0.5\arcsin \frac{9}{\sqrt{130} } + \frac{\pi k}{2},k \in \mathbb{Z} }$