Question

3 sin2 x - 4 sin x cos x + cos2 x = 0

Answer 1

$3\sin^2x - 4\sin x\cos x + \cos^2x = 0$

Перед нами тригонометрическое однородное уравнение 2 степени. Разделим обе части уравнения на $\cos^2x\neq 0$, получаем:

$\dfrac{3\sin^2x}{\cos^2x} - \dfrac{4\sin x\cos x}{\cos^2x} + \dfrac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0\\\\\\3tg^2x - \dfrac{4\sin x}{\cos x} + 1 = 0\\\\\\3tg^2x - 4tgx + 1 = 0$

Введём замену:  $t = tgx$.

$3t^2 - 4t + 1 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4\cdot 3\cdot 1 = 16 - 12 = 4\\\\\\t_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-4) + 2}{2\cdot 3} = \dfrac{4+2}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\\\\\\t_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-4)-2}{2\cdot 3} = \dfrac{4-2}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

Обратная замена:

$\left[\begin{gathered}tgx = 1\\\\tg x = \dfrac{1}{3}\\\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ $\left[\begin{gathered}x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k\\\\x = arctg\dfrac{1}{3} + \pi k\\\end{gathered}\ \ \ \ ,\ k\in\mathbb{Z}$