Question

Найдите числа, составляющие арифметическую прогрессию, при которой сумма первых четырех равна 26, сумма последних четырех равна 106, а сумма всех членов равна 187​

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулы для суммы членов арифметической прогрессии.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность прогрессии равна d.

Сумма первых четырех членов прогрессии равна:
S1 = (4/2)(2a + 3d)

Сумма последних четырех членов прогрессии равна:
S2 = (4/2)(2a + 9d)

Сумма всех членов прогрессии равна:
S = (1/2)(2a + (n - 1)d)n, где n - количество членов прогрессии

Теперь мы можем составить систему уравнений:

S1 = 26
S2 = 106
S = 187

Подставим значения суммы первых четырех членов в уравнение:
26 = (4/2)(2a + 3d)
26 = 2(2a + 3d)
13 = 2a + 3d (Уравнение 1)

Подставим значения суммы последних четырех членов в уравнение:
106 = (4/2)(2a + 9d)
106 = 2(2a + 9d)
53 = 2a + 9d (Уравнение 2)

Подставим значения суммы всех членов в уравнение:
187 = (1/2)(2a + (n - 1)d)n
187 = (1/2)(2a + 3d + 3d + 6d)n
187 = (1/2)(2a + 12d)n
374 = 2a + 12dn
187 = a + 6dn (Уравнение 3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными (a, d и n). Мы можем решить эту систему, используя метод подстановки или метод исключения переменных.

Давайте решим эту систему методом подстановки.

Из уравнения 1, мы можем выразить a через d:
13 = 2a + 3d
2a = 13 - 3d
a = (13 - 3d)/2 (Уравнение 4)

Теперь подставим выражение для a из уравнения 4 в уравнение 3:
187 = a + 6dn
187 = [(13 - 3d)/2] + 6dn
374 = 13 - 3d + 12dn
374 - 13 = -3d + 12dn
361 = 9d + 12dn
361 = 9d(1 + 4n) (Уравнение 5)

Мы получили одно уравнение для d и n.

Теперь рассмотрим уравнение 2:
53 = 2a + 9d

Подставим выражение для a из уравнения 4:
53 = 2[(13 - 3d)/2] + 9d
53 = 13 - 3d + 9d
53 = 13 + 6d
40 = 6d
d = 40/6
d = 20/3 (Уравнение 6)

Теперь мы знаем значение d.

Подставим значение d из уравнения 6 в уравнение 5:
361 = 9(20/3)(1 + 4n)
361 = 60(1 + 4n)
361 = 60 + 240n
240n = 301
n = 301/240
n = 1.2541667 (Уравнение 7)

Теперь у нас есть значение n.

Подставим значения d и n в уравнение 1, чтобы вычислить a:
13 = 2a + 3(20/3)
13 = 2a + 20
2a = 13 - 20
2a = -7
a = -7/2
a = -3.5 (Уравнение 8)

Таким образом, числа, составляющие арифметическую прогрессию, равны -3.5, -9.17, -14.84, -20.51, ... (округляя до сотых). Проверим суммы:

Сумма первых четырех членов:
S1 = (4/2)(2(-3.5) + 3(20/3))
S1 = (4/2)(-7 + 20)
S1 = (4/2)(13)
S1 = 4 * 6.5
S1 = 26

Сумма последних четырех членов:
S2 = (4/2)(2(-3.5) + 9(20/3))
S2 = (4/2)(-7 + 60)
S2 = (4/2)(53)
S2 = 4 * 26.5
S2 = 106

Сумма всех членов:
S = (1/2)(2(-3.5) + (1.2541667 - 1)(20/3)) * 1.2541667
S = (1/2)(-7 + 0.2541667)(20/3) * 1.2541667
S ≈ (1/2)(-6.7458333)(6.6666667) * 1.2541667
S ≈ (-3.37291665)(6.6666667) * 1.2541667
S ≈ (-22.48544779) * 1.2541667
S ≈ -28.2031269

На самом деле, сумма всех членов не равна 187. Возможно, при заданном условии добавлено лишнее условие или ошибка в расчетах.