Для решения данной задачи, нам необходимо использовать несколько свойств векторов.
1. Скалярное произведение векторов:
Для двух векторов a и b с углом между ними фи, скалярное произведение вычисляется по формуле:
a · b = |a| · |b| · cos(фи)
2. Распределительный закон умножения векторов:
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
Теперь рассмотрим заданное нам выражение (3a + b) · (a + 3b):
(3a + b) · (a + 3b)
= 3a · a + 3a · 3b + b · a + b · 3b
= 3a · a + 9a · b + b · a + 3b · b
Далее, мы можем использовать скалярное произведение векторов и свойство антикоммутативности (a · b = b · a) для более удобных вычислений.
Так как у нас дано значение угла между a и b (фи = 30 градусов), мы можем вычислить их скалярное произведение.
Перед тем, как начать, давайте разберемся в терминологии и обозначениях.
- ab - перпендикуляр к плоскости альфа.
- ac - наклонная, которая пересекает плоскость альфа.
- ad - вторая наклонная.
- Проекция ac на плоскость альфа равна 6.
- Проекция ad на плоскость альфа равна 2.
Наша задача - найти длину наклонной ad. Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.
Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Давайте применим теорему Пифагора в нашей задаче.
Мы знаем, что проекция ac на плоскость альфа равна 6. Пусть это значение будет длиной одного катета, обозначим его как ca.
Также, мы знаем, что проекция ad на плоскость альфа равна 2. Обозначим это значение как da.
Используя теорему Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:
ca^2 + da^2 = ac^2
Так как нам дано, что длина ac равна 9, мы можем подставить это значение в уравнение:
ca^2 + da^2 = 9^2
ca^2 + da^2 = 81
Мы также знаем, что ca = 6 и da = 2, поэтому мы можем подставить эти значения в уравнение:
6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40
Теперь мы можем решить уравнение:
40 = 81 - da^2
Переносим da^2 на одну сторону и получаем:
da^2 = 81 - 40
da^2 = 41
Чтобы найти da, мы можем извлечь квадратный корень из обеих сторон:
da = √(41)
Поэтому длина наклонной ad равна √(41).
Ответ: Длина наклонной ad равна приблизительно 6.4 единиц.
1. Скалярное произведение векторов:
Для двух векторов a и b с углом между ними фи, скалярное произведение вычисляется по формуле:
a · b = |a| · |b| · cos(фи)
2. Распределительный закон умножения векторов:
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
Теперь рассмотрим заданное нам выражение (3a + b) · (a + 3b):
(3a + b) · (a + 3b)
= 3a · a + 3a · 3b + b · a + b · 3b
= 3a · a + 9a · b + b · a + 3b · b
Далее, мы можем использовать скалярное произведение векторов и свойство антикоммутативности (a · b = b · a) для более удобных вычислений.
Так как у нас дано значение угла между a и b (фи = 30 градусов), мы можем вычислить их скалярное произведение.
a · b = |a| · |b| · cos(фи)
= 2 · 7 · cos(30°)
= 14 · cos(30°)
= 14 · (√3/2)
= 7√3
Заменяем полученное значение в выражении:
3a · a + 9a · b + b · a + 3b · b
= 3a · a + 9 · (7√3) + (7√3) + 3b · b
Теперь можем вычислить скалярное произведение векторов a · a и b · b:
|a| = √(a · a)
=> 2 = √(a · a)
=> 4 = a · a
|b| = √(b · b)
=> 7 = √(b · b)
=> 49 = b · b
Заменяем значения в выражении:
3(4) + 9(7√3) + (7√3) + 3(49)
= 12 + 63√3 + 7√3 + 147
= 159 + 70√3
Таким образом, (3a + b) · (a + 3b) равно 159 + 70√3.