Контрольная работа №2 «Уравнения и неравенства с одной переменной» Вариант 5
1.Решите неравенство: 1) 2х2 – 7х + 5 0.
2.Решите неравенство методом интервалов: 1)(х +14)(х - 8) ≥0; 2) (х-5,4)/(х+1) <0.
3.Решите уравнение: 1)х4 - 25х2=0; 2)2у4 - 19у2 +9=0.
4.При каких значениях х имеет смысл выражение √((8х-1)(4+3х).)
5.Найдите область определения функции: у=1/(2х^2-х^3 ).
6.При каких значениях k уравнение kх2 + 5х + 2=0 имеет два корня?
Для начала, найдем корни уравнения 2х^2 - 7х + 5 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac.
В нашем случае, a = 2, b = -7, c = 5. Подставим значения в формулу:
D = (-7)^2 - 4(2)(5) = 49 - 40 = 9.
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем их, используя формулу квадратного корня: х = (-b ± √D) / (2a).
Тогда:
х1 = (-(-7) + √9) / (2 * 2) = (7 + 3) / 4 = 10 / 4 = 5 / 2 = 2.5.
х2 = (-(-7) - √9) / (2 * 2) = (7 - 3) / 4 = 4 / 4 = 1.
Теперь построим таблицу знаков. Выберем произвольные числа, лежащие справа и слева от найденных корней:
x | (-∞, 1) | (1, 2.5) | (2.5, +∞)
_____________________________________
2х^2-7х+5 | + | - | +
Видим, что у нас есть два интервала, где неравенство выполняется: (-∞, 1) и (2.5, +∞).
Таким образом, решением данного неравенства является интервал (-∞, 1) объединенный с интервалом (2.5, +∞).
2) Решим неравенство (х + 14)(х - 8) ≥ 0:
Для начала найдем значения х, при которых выражение (х + 14)(х - 8) равно нулю:
х + 14 = 0 => х = -14,
х - 8 = 0 => х = 8.
Теперь построим таблицу знаков. Выберем произвольное число, лежащее вне найденных корней:
x | (-∞, -14) | (-14, 8) | (8, +∞)
_____________________________________
(х + 14)(х - 8) | - | + | -
Видим, что неравенство выполняется на интервалах (-∞, -14) объединенном с интервалом (8, +∞).
Таким образом, решением данного неравенства является интервал (-∞, -14) объединенный с интервалом (8, +∞).
3) Решим уравнение х^4 - 25х^2 = 0:
Приведем уравнение к виду х^2(х^2 - 25) = 0 и факторизуем его:
х^2(х - 5)(х + 5) = 0.
Теперь рассмотрим каждый множитель отдельно и найдем значения х:
1) х^2 = 0 => х = 0.
2) х - 5 = 0 => х = 5.
3) х + 5 = 0 => х = -5.
Таким образом, решение данного уравнения состоит из трех чисел: 0, 5 и -5.
4) Найдем значения х, при которых выражение √((8х - 1)(4 + 3х)) имеет смысл:
Для того чтобы корень был действительным, необходимо выполнение следующих условий:
1) (8х - 1) ≥ 0: решим неравенство 8х - 1 ≥ 0.
8х ≥ 1 => х ≥ 1/8.
2) (4 + 3х) ≥ 0: решим неравенство 4 + 3х ≥ 0.
3х ≥ -4 => х ≥ -4/3.
Таким образом, имеет смысл выражение √((8х - 1)(4 + 3х)) при значениях х, больших или равных 1/8, и при значениях х, меньших или равных -4/3.
5) Найдем область определения функции у = 1/(2х^2 - х^3):
Заметим, что выражение 2х^2 - х^3 не должно быть равным нулю, так как обратное число нулю не может быть. Для определения области определения решим уравнение:
2х^2 - х^3 = 0 => х^2(2 - х) = 0.
Из данного уравнения, видно, что х^2 = 0, если х = 0.
Также, (2 - х) = 0, если х = 2.
Теперь построим таблицу знаков. Выберем произвольное число, лежащее вне найденных корней:
x | (-∞, 0) | (0, 2) | (2, +∞)
_____________________________________
2х^2 - х^3 | - | + | -
Видим, что функция у = 1/(2х^2 - х^3) определена на интервалах (-∞, 0) объединенном с интервалом (2, +∞).
Таким образом, область определения функции у - это интервал (-∞, 0) объединенный с интервалом (2, +∞).
6) Найдем значения k, при которых уравнение kх^2 + 5х + 2 = 0 имеет два корня:
Для того чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть положительным: D > 0.
Используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac.
Зная, что a=k, b=5 и c=2, подставим значения в формулу:
D = (5)^2 - 4(k)(2) = 25 - 8k.
Теперь найдем значения k, при которых D > 0:
25 - 8k > 0 => 8k < 25 => k < 25/8.
Таким образом, уравнение kх^2 + 5х + 2 = 0 имеет два корня при значениях k, меньших чем 25/8.