Question

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

$y'-\frac{y}{x} =x^{3} \\y(1)=3$

Answer 1

$y' - \frac{y}{x} = {x}^{3} \\$

замена:

$y = UV \\ y = U'V + V'U$

$U'V+ V'U- \frac{UV}{x} = {x}^{3} \\ U'V + U(V' - \frac{V}{x} ) = {x}^{3} \\ \\ 1)V'- \frac{V}{x} = 0 \\ \frac{dV}{dx} = \frac{V}{x} \\ \int\limits \frac{dV}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(V) = ln(x) \\ v = x \\ \\ 2)U'V = {x}^{3} \\ \frac{du}{dx} \times x = {x}^{3} \\ \int\limits \: dU = \int\limits {x}^{2} dx \\ U = \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ \\ y = UV = x( \frac{ {x}^{3} }{3} + C) \\ y = \frac{ {x}^{4} }{3} + Cx$

общее решение

$y(1) = 3$

$3 = \frac{1}{3} + C \\ C = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$

$y = \frac{ {x}^{4} }{3} + \frac{8x}{3} \\ y = \frac{ {x}^{4} + 8x}{3}$

частное решение