Question

Найти производные (производные на скрине)

Answer 1

$a)\ \ \left\{\begin{array}{l}x=t+sint\\y=2-cost\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{l}x'_{t}=1+cost\\y'_{t}=sint\end{array}\right\ \ \ \ y'_{x}=\dfrac{sint}{1+cost}=tg\dfrac{t}{2}\\\\\\(y'_{x})'_{t}=\dfrac{1}{cos^2\frac{t}{2}}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2\cdot cos^2\frac{t}{2}}\ \ ,\\\\\\y''_{xx}=\dfrac{(y'_{x})'_{t}}{x'_{t}}=\dfrac{1}{2cos^2\frac{t}{2}\cdot (1+cost)}=\dfrac{1}{2\, cos^2\frac{t}{2}\cdot 2cos^2\frac{t}{2}}=\dfrac{1}{4\, cos^4\frac{t}{2}}$

$b)\ \ y=3x-ln(1+\sqrt{1-e^{6x}})-e^{3x}\cdot arcsin(e^{3x})\\\\y'_{x}=3-\dfrac{1}{1+\sqrt{1-e^{6x}}}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{1-e^{6x}}}\cdot (-6e^{6x})-3e^{3x}\cdot arcsin(e^{3x})-\\\\\\-e^{3x}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-e^{6x}}}\cdot 3e^{3x}=\\\\\\=3+\dfrac{3e^{6x}}{\sqrt{1-e^{6x}}\cdot (1+\sqrt{1-e^{6x}})}-3e^{3x}\cdot arcsin(e^{3x})-\dfrac{3e^{6x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}=$

$=3+\dfrac{3e^{6x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}\Big(\dfrac{1}{1+\sqrt{1-e^{6x}}}-1\Big)-3e^{3x}\cdot arcsin(e^{3x})=\\\\\\=3+\dfrac{3e^{6x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}\cdot \dfrac{-\sqrt{1-e^{6x}}}{1+\sqrt{1-e^{6x}}}-3e^{3x}\cdot arcsin(e^{3x})=\\\\\\=3- \dfrac{3e^{6x}}{1+\sqrt{1-e^{6x}}}-3e^{3x}\cdot arcsin(e^{3x})$

$y''_{xx}=-\dfrac{18e^{6x}\cdot (1+\sqrt{1-e^{6x}})-3e^{6x}\cdot \dfrac{-6e^{6x}}{2\sqrt{1-e^{6x}}}}{(1+\sqrt{1-e^{6x}})^2}-9e^{3x}\cdot arcsin(e^{3x})-\\\\\\-3e^{3x}\cdot \dfrac{3e^{3x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}=\\\\\\=-\dfrac{18e^{6x}\cdot (1+\sqrt{1-e^{6x}})\cdot \sqrt{1-e^{6x}}+9e^{12x}}{\sqrt{1-e^{6x}}\cdot (1+\sqrt{1-e^{6x}})^2}-9e^{3x}\cdot arcsin(e^{3x})-\dfrac{9e^{6x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}$