323 = 17 * 19, поэтому число должно одновременно делиться на 17 и 19.
Заметим, что если раскрывать скобки в выражении (a + b)^n, то получится (a^n + n a^(n - 1) b + ...) + b^n — разложение по биному Ньютона, где каждое слагаемое в скобках делится на a. Значит, (a + b)^n даёт такой же остаток при делении на a, что и b^n.
Используем это наблюдение. Представим выражение в виде (17 + 3)^n + (17 - 1)^n - 3^n - 1. По написанному выше это выражение даёт такой же остаток при делении на 17, что и 3^n + (-1)^n - 3^n - 1 = (-1)^n - 1. Для нечётных n последнее выражение равно -2, для чётных — 0. Значит, выражение делится на 17 при чётных n и не делится при нечётных.
Тот же трюк с делимостью на 19: (19 - 1)^n + (19 - 3)^n - 3^n - 1 ≡ (-1)^n + (-3)^n - 3^n - 1. Нечётные n нас уже не интересуют, а при чётных n последнее выражение равно 0, так что исходное выражение делится на n.
Суммируем: выражение делится на 323 при чётных n (и только при таких n). Значит, подходят n = 0, 2, 4, Седьмое число в этом ряду равно 12.
1.438 505
2.486 706
3.186 921