Question

Касательная к графику функции y=1/x^2 такова, что абсцисса c точки касания лежит на отрезке от 5 до 9. при каком значении c площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью ox и прямой x= 4 , будет наибольшей? чему равна эта наибольшая площадь?

Answer 1

Касательная к графику функции y=1/x² такова, что абсцисса c точки касания лежит на отрезке от 5 до 9. При каком значении c площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью OX и прямой x= 4 , будет наибольшей ? Чему равна эта наибольшая площадь?
-----------
f(x) = 1/x²
касательная к графику функции  y=f(x) в точке  ( x₀, f '(x₀)), где 5 < x₀ < 9 ;
y = 0  (уравнения оси абсцисс_ OX)
x= 4.
-----------
Схематическая картина изображена  в прикрепленном файле 
------------------
Уравнение  касательной  к  графику  функции  y = f(x)  в точке                            ( x₀, f '(x₀))   имеет вид    y = f '(x₀) (x - x₀)  +  f (x₀).
 f (x₀) = 1/x₀²  ; f '(x) =( 1/x² )' =( x⁻² )'  = -2*(x⁻²⁻¹ ) = -2*(x⁻³) = -2/ x³ ; f '(x₀) =-2/x₀³.
 y =-(2/x₀³)* (x - x₀)  + 1/x₀²   ⇔  y = - (2/x₀³)* x   + 3/x₀² ;
Точка пересечения  касательной с осью абсцисс (обозначаем через А) :
 у = 0  ⇒  x =3x₀ /2  
 * * *  А(3x₀ /2: 0)  * * *
Точка пересечения  касательной с прямой  x = 4 (обозначаем через C) : 
 y(C) = - (2/x₀³)* 4   + 3/x₀² = -8/x₀³+3/x₀² =(3x₀ -8) / x₀³  
 * * * C( 4; (3x₀ -8) / x₀³ )  ;  B(4 ;0)   * * *
S(x₀)=S(∆ABC)=(1/2)* AB*BC=(1/2)*(3x₀ /2-4)*(3x₀-8)/x₀³ =(1/4)*(3x₀ -8)² /x₀³
S(x₀) = (1/4)*(3x₀ -8)² /x₀³ .
Обозначаем  F(x₀) =(3x₀ -8)² /x₀³   и   определяем x₀ при которой функция F(x₀) принимает свое  максимальное значение .
 F' (x₀) = ( (3x₀ -8)² /x₀³ ) ' =( 2(3x₀ -8)*3*x₀³ - (3x₀ -8)²*3x₀² ) / x₀⁶ =
3x₀²(3x₀ -8)*(2x₀ - 3x₀ +8) ) / x₀⁶  =3(3x₀ -8)*(8 -x₀) / x₀⁴

F' (x₀)          -                        +                          -
--------------------- 8/3  ------------------- 8 --------------------      * * * 8 ∈ (4;9 ) * * *
F(x₀)           ↑                         ↑             max            ↑

max (S(x₀))= S(8)= (1/4)*(3*8 -8)² /8³  = .(1/4)*8² (3 -1)² /8³  =(1/4)*4 /8  =1/8.

ответ :  1/8   ед. площ. (  проверить арифметику ) 
===================
Удачи !