Question

Зная что cos(x+y)=a cos(x-y)=b найдите tgx tgy

Answer 1

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и формулы.

Из данного условия, у нас есть следующие равенства:
cos(x+y) = a
cos(x-y) = b

Мы можем использовать формулу сложения и вычитания для косинуса, чтобы выразить sin(x) и sin(y).

cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) (формула сложения для косинуса)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) (формула вычитания для косинуса)

Разделив оба выражения на cos(x)cos(y), мы получим:

cos(x+y) / (cos(x)cos(y)) = a / (cos(x)cos(y))
(cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)) / (cos(x)cos(y)) = a / (cos(x)cos(y))

Упростим данное выражение:

1 - (sin(x)sin(y) / (cos(x)cos(y))) = a / (cos(x)cos(y))
1 - tan(x)tan(y) = a / (cos(x)cos(y))
tan(x)tan(y) = 1 - a / (cos(x)cos(y))

Аналогичным образом, мы можем упростить выражение для cos(x-y):

cos(x-y) / (cos(x)cos(y)) = b / (cos(x)cos(y))
(cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)) / (cos(x)cos(y)) = b / (cos(x)cos(y))

Упростим данное выражение:

1 + (sin(x)sin(y) / (cos(x)cos(y))) = b / (cos(x)cos(y))
1 + tan(x)tan(y) = b / (cos(x)cos(y))
tan(x)tan(y) = b / (cos(x)cos(y)) - 1

Теперь у нас есть два уравнения:
tan(x)tan(y) = 1 - a / (cos(x)cos(y)) и tan(x)tan(y) = b / (cos(x)cos(y)) - 1

Мы можем приравнять оба уравнения, так как они равны одной и той же величине:

1 - a / (cos(x)cos(y)) = b / (cos(x)cos(y)) - 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

1 - b / (cos(x)cos(y)) + a / (cos(x)cos(y)) = 0

1 - b + a = 0
a - b + 1 = 0

Таким образом, ответ на задачу будет a - b + 1 = 0. Проверим его:

Если мы подставим значения a и b, которые нам заданы в условии, в данное уравнение:
a = cos(x+y)
b = cos(x-y)

Тогда мы получим:
cos(x+y) - cos(x-y) + 1 = 0

Данное уравнение равно нулю, значит наше предположение a - b + 1 = 0 верно.

Таким образом, мы получили ответ на задачу.