Question

Составьте квадратное уравнение с целыми коэфициентами, один из корней которых равен 1 деленное на корень 3 +1 ( единица без корня) ! это !

Answer 1

$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Вспомним формулу корней. У нее в знаменателе 2a. А у нас 2. Тогда хорошо бы было, если a=1.

Дальше, запишем наш корень так: $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$. Опять же, глядя на формулу, хорошо будет, если b=1. Теперь подберем последний коэффициент c так, чтобы дискриминант был равен числу 3. Коэффициенты a и b известны, поэтому запишем формулу дискриминанта: $D=b^{2}-4ac$

$3=1-4c$
$-4c=2$

$c=-\frac{1}{2}$

Не получилось немного.. коэффициент у нас не целый-то! Но насчет квадратного уравнения хорошо то, что если мы умножим все члены на любое отличное от нуля число, то корни не изменятся.

Из $x^{2}+x-\frac{1}{2}=0$ мы получаем равносильное относительно корней $2x^{2}+2x-1=0$

Теперь все коэффициенты целые!