В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 70 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 32 учеников изучают английский, 21 - французский, 20 - немецкий. 9 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 6 - французский и немецкий. 15 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?
A - множество учеников, изучающих английский язык
B - множество учеников, изучающих французский язык
C - множество учеников, изучающих немецкий язык
Мы знаем, что |A| = 32 (32 ученика изучают английский), |B| = 21 (21 ученик изучает французский), и |C| = 20 (20 учеников изучает немецкий). Давайте также определим |A ∩ B| (количество учеников, изучающих и английский, и французский), |A ∩ C| (количество учеников, изучающих и английский, и немецкий), и |B ∩ C| (количество учеников, изучающих и французский, и немецкий).
Мы знаем, что |A ∩ B| = 8 (8 учеников изучают и английский, и французский), |A ∩ C| = 9 (9 учеников изучают и английский, и немецкий), и |B ∩ C| = 6 (6 учеников изучают и французский, и немецкий).
Также мы знаем, что общее количество учеников, которые изучают хотя бы один из этих трех языков, равно 70.
Теперь давайте воспользуемся формулой включений-исключений:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
|A ∪ B ∪ C| = 32 + 21 + 20 - 8 - 9 - 6 + |A ∩ B ∩ C|
Мы знаем, что общее количество учеников равно 70, поэтому:
|A ∪ B ∪ C| = 70
Теперь можем решить уравнение:
70 = 32 + 21 + 20 - 8 - 9 - 6 + |A ∩ B ∩ C|
Упрощая, получаем:
70 = 50 + |A ∩ B ∩ C|
Поэтому:
|A ∩ B ∩ C| = 70 - 50 = 20
Таким образом, 20 учеников изучают одновременно английский, французский и немецкий языки.