Построим график функции у = 8 + 2x - x²
Для этого преобразуем её к виду
у = -(х² - 2х + 1) + 9
у = -(х - 1)² + 9
Видим, что парабола у = -х² сдвинута по оси абсцисс на 1 вправо и на 9 вверх. То есть её вершина находится в точке с координатами (1; 9).
Найдём координаты точек пересечения параболы с осью ординат.
При х = 0 у = 8
И координаты точек пересечения параболы с осью абсцисс
у = 0
- х² + 2х + 8 = 0
D = 2² - 4 · (-1) · 8 = 36
√D = 6
х₁ = -0,5(-2 - 6) = 4
х₂ = -0,5(-2 + 6) = -2
Итак мы получили ещё две точки параболы (4; 0) и (-2; 0).
Строим параболу (веточки её опущены вниз).
Смотри прикреплённый рисунок.
1) по графику видим, что функция убывает на интервале х ∈ [1; +∞)
2) множество решений неравенства 8 + 2x - x^2 ≤ 0 есть объединение двух интервалов х∈ (-∞; -2] ∪ [4; +∞)
5.
y=-x^2-2x+3,
a=-1<0 - ветви параболы вниз;
x_0=-b/(2a)=-(-2)/(2*(-1))=-1,
y_0=-(-1)^2-2*(-1)+3=4,
(-1;4) - вершина параболы;
x=0, y=3,
(0;3) - пересечение с Оу,
y=0, -x^2-2x+3=0,
x^2+2x-3=0,
по теореме Виета x_1=-3, x_2=1,
(-3;0), (1;0) - пересечения с Оx;
1) E_y=(-∞;4);
2) x∈(-1;+∞);
6.
(х^2+2х+1)(х^2-6х-16)<0,
(х^2+2х+1)(х^2-6х-16)=0,
х^2+2х+1=0, (x+1)^2=0, x+1=0, x=-1;
х^2-6х-16=0, по теореме Виета x_1=-2, x_2=8; х^2-6х-16=(x+2)(x-8);
(x+1)^2(x+2)(x-8)<0,
(x+1)^2≥0, x∈R,
(x+2)(x-8)<0,
-2<x<8,
x∈(-2;8);
7.
x^2-6bx+3b=0,
D<0,
D/4=k^2-ac=(-3b)^2-3b=3b^2-3b=3b(b-1),
3b(b-1)<0,
3b(b-1)=0,
b_1=0, b_2=1,
0<b<1,
b∈(0;1);
8.
ΔABC, уг.C=90°, CE - высота, AE=16см, BE=9см;
AB=AE+BE (по свойству сложения отрезков),
AB=16+9=25см;
AC^2=AB*AE (катет есть среднее геометрическое гипотенузы и смежного сегмента),
AC^2=25*16=400, AC=20см,
BC^2=AB*BE=25*9=225, BC=15см,
P=AB+AC+BC=25+20+15=60см.