Пусть углы при основании равны x, тогда угол при вершине равен 180°-2x. Составим функцию зависимости суммы косинусов углов данного треугольника от x:
f(x)=2cosx+cos(180°-2x)=2cosx-cos2x=2cosx-2cos²x+1=-2cos²x+2cosx+1
Сделав замену cosx=t, получим функцию:
f(t)=-2t²+2t+1
Это парабола, a<0 ⇒ ветви вниз. Наибольшее значение функции достигается в вершине.
t0=-2/-4=0.5
Меняем обратно:
cosx=0.5 ⇒ x=±π/3+2πk; k∈Z
Осталось подставить любой корень из полученных двух серий корней в уравнение функции и найти f(x)max:
f(π/3)=-2cos²(π/3)+2cos(π/3)+1=-2·(1/4)+2·(1/2)+1=1.5
вырожденный треугольник, треугольник у которого все три стороны лежат на одной прямой, вывод из этого свойства, что две меньшие стороны этого треугольника это половинки большей стороны. то есть большая сторона это сумма двух меньших. Если первый игрок старательно стирает числа, которые не дадут в сумме третьего большего числа, то вырожденных треугольников не будет. Пример 1,2,4,7,10,13 - тут еще осталось 6 чисел, но уже в любом порядке не может собраться вырожденный треугольник, тоесть сумма любых двух чисел в ряде не может быть третьим числом из этого же ряда. тоесть первый игрок выиграл.