Question

Решите уравнение : a)sinx+cosx=1 b)2cos^2x+sin4x=1 d)sinx-cosx=1 h)2cos^2x-sin4x=1

Answer 1

$a)~ \sin x+\cos x=1\\ \\ \sqrt{2} \sin (x+ \frac{\pi}{4} )=1\\ \\ \sin(x+\frac{\pi}{4} )= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ x+\frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}$

$b)~ 2\cos^2x+\sin 4x=1\\ \\ 1+\cos 2x+2\sin2x\cos2x=1\\ \\ \cos 2x(1+2\sin2x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\cos2x=0;~~~ x_1=\frac{\pi}{4} +\frac{\pi n}{2} ,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \sin2x=-0.5;~~~~ x_2=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{12} +\frac{\pi k}{2} ,k \in \mathbb{Z}$

$d)~ \sin x-\cos x=1\\ \\ \sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi}{4} )=1\\ \\ x-\frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4} +\frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}$

$h)~ 2\cos^2x-\sin 4x=1\\ \\ 1+\cos2x-2\sin2x\cos2x=1\\ \\ \cos2x(1-2\sin2x)=0\\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}\cos2x=0\\ \\ \sin2x=0.5\end{array}\right~~~~\Rightarrow~~~ \left[\begin{array}{ccc}x_1=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}\\ \\ x_2=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},k \in \mathbb{Z} \end{array}\right$