Question

ОЧЕНЬ Решите уравнение, используя замены переменной. с подробным решением.

Answer 1

$(x^{2}-x)^{2}-9(x^{2}-x)+14=0\\\\x^{2} -x=m\\\\m^{2} -9m+14=0\\\\m_{1}=2\\\\m_{2}=7-teorema \ Vieta\\\\1)x^{2}-x=2\\\\x^{2}-x-2=0\\\\x_{1}=-1\\\\x_{2}=2\\\\2)x^{2}-x=7\\\\x^{2}-x-7=0\\\\D=(-1)^{2} -4*(-7)=1+28=29\\\\x_{3}=\frac{1-\sqrt{29}}{2}\\\\x_{4} =\frac{1+\sqrt{29}}{2}\\\\Otvet:\boxed{-1 \ ; \ 2 \ ; \ \frac{1-\sqrt{29} }{2} \ ; \ \frac{1+\sqrt{29} }{2}}$

Answer 2

Метод замены переменной используется в том случае, когда уравнение можно привести к виду квадратного. В условии задачи есть подсказка, указывающая на одинаковые многочлены вознесённые во вторую и первую степень, их то мы и можем заменить на любую произвольную переменную (обычно используют t)

Тогда, пусть х²-х = t , получаем :

(t)² -9*(t) +14 = 0 (скобки в данном случае не обязательно писать, но для наглядности всё же можно)

решим уравнение относительно t:

t² - 9t + 14 = 0

D = 81 - 4*14 = 81-56 = 25

√D = 5

t1 = (9+5)/2 = 7

t2 = (9-5)/2 = 2

Если мы делаем замену переменную мы ВСЕГДА должны вернуться к изначальной переменной [ведь нам в ответе нужно указать чему равен х, а не t :) ]

x²-x = 7

x²-x = 2

Нужно решить оба уравнения, и все корни которые мы получим будут являться решением исходного уравнения.

1) х²-х -7 = 0

D = 1 -4*(-7) = 29

√D = √29

x1 = (1+√29)/2

x2 = (1-√29)/2

2) x²-x-2=0

D = 1 -4*(-2) = 9

√D=3

x3 = (1+3)/2 = 2

x4 = (1-3)/2 = -1

В ответ указываем все четыре корня. Данное уравнение сложно решить иным Если начать раскрывать скобки получится очень "некрасивый" многочлен четвертой степени