спочатку спростимо дробову частину:
(x^2 - 2x - 3)/ (3x^2 - x - 2) = [(x - 3)(x + 1)]/[(3x + 2)(x - 1)]
тепер можна записати рівняння:
[(x - 3)(x + 1)]/[(3x + 2)(x - 1)] = 0
щоб отримати нуль на лівій стороні рівняння, треба, щоб чисельник був рівний нулю:
(x - 3)(x + 1) = 0
звідси x = 3 або x = -1/3
але треба перевірити, чи не є якимось з цих значень знаменником рівняння. з x = 3:
3(3^2) - 3 - 2 = 20 ≠ 0
з x = -1/3:
3((-1/3)^2) + (1/3) - 2 = -20/9 ≠ 0
таким чином, розв'язками рівняння є x = 3 та x = -1/3.
Для складання рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x³ + x в точці x₀ = -1, нам знадобиться використати знання про похідні.
Спочатку знайдемо похідну функції f(x). Для цього візьмемо похідну кожного доданку окремо і застосуємо правило диференціювання степеневої функції та правило суми похідних:
f'(x) = (x³)' + (x)'
Знаючи, що похідна степеневої функції xⁿ, де n - це дійсне число, рівна n * xⁿ⁻¹, ми можемо обчислити похідну кожного доданку:
f'(x) = (3x²) + 1
Тепер, щоб знайти рівняння дотичної, ми можемо використовувати загальний вигляд рівняння прямої:
y = mx + c,
де m - це нахил дотичної, а c - це точка перетину з осі у.
В нашому випадку, ми шукаємо рівняння дотичної в точці x₀ = -1, тому підставимо це значення в нашу похідну:
f'(-1) = (3(-1)²) + 1 = 2.
Тепер, ми знаємо нахил дотичної m = 2 та точку перетину з осі у (-1, f(-1)).
Підставимо значення точки (-1, f(-1)) у загальне рівняння прямої:
f(-1) = m * (-1) + c,
f(-1) = 2 * (-1) + c,
Підставимо значення функції f(-1) = (-1)³ + (-1):
-1 = -2 + c,
c = 1.
Тепер, ми маємо значення нахилу m = 2 та точку перетину з осі у (0, 1).
Отже, рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x³ + x в точці x₀ = -1 буде:
y = 2x + 1.
Объяснение:
