Question

Вычислите интеграл

(интеграл от 0 до /pi)

∫(sin9xcos8x-sin8xcos9x)dx

Answer 1

$\int\limits^{\pi} _ {0} ( \sin(9x) \cos(8x) - \sin(8x) \cos(9x) )dx = \\ = \int\limits^{\pi} _ {0} \sin(9x - 8x) dx = \int\limits^{\pi} _ {0} \sin(x) = \\ = - \cos(x) |^{\pi} _ {0} = - \cos(\pi) + \cos(0) = \\ = - ( - 1) + 1 = 2$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, нам понадобится знание основных математических формул и правил интегрирования.

Используя формулу производной произведения функций (d/dx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)), мы можем разложить подынтегральное выражение на две части:
∫(sin9xcos8x-sin8xcos9x)dx = ∫sin9xcos8x dx - ∫sin8xcos9x dx

Затем мы можем воспользоваться формулами интегрирования для произведений синуса и косинуса:
∫sin(ax)cos(bx) dx = (-1/(a+b)) [cos((a+b)x)]
∫sin(ax)cos(bx) dx = 1/(a-b) [sin((a-b)x)]

Применяя эти формулы к каждому из интегралов, получим:
∫sin9xcos8x dx - ∫sin8xcos9x dx = (-1/(9+8))[cos((9+8)x)] - (1/(9-8))[sin((9-8)x)]
= (-1/17)[cos(17x)] - (1)[sin(x)]

Таким образом, окончательный ответ на данный интеграл будет:
(интеграл от 0 до pi) (∫sin9xcos8x dx - ∫sin8xcos9x dx) = (-1/17)[cos(17x)] - (1)[sin(x)] evaluated from 0 to pi

Подставим пределы интегрирования:
= (-1/17)[cos(17*pi)] - (1)[sin(pi)] - ((-1/17)[cos(17*0)] - (1)[sin(0)])
= (-1/17)[cos(17pi)] - (1)[sin(pi)] - ((-1/17)[cos(0)] - (1)[sin(0)])
= (-1/17)[cos(17pi)] - (1)[sin(pi)] - ((-1/17)[1] - (1)[0])
= (-1/17)[cos(17pi)] - (1)[sin(pi)] - ((-1/17) - 0)
= (-1/17)[1] - (1)[0] - (-1/17)
= -1/17 + (-1/17)
= -2/17