2 1/3
Объяснение:
1) Найти интервалы монотонности функции
y=x^3-3x^2+1
y'=3x²-6x=0 ; 3x(x-2)=0; x₁=0;x₂= 2
нанесем корни на числовую прямую и определим знаки производной на интервалах
y' + - +
(-∞)02(+∞)
y возрастает убывает возрастает
у возрастает при х∈(-∞;0]∪[2;+∞)
у убывает при х∈[0;2]
2) Найти экстремумы функции
а) y=x^2-10x+9
y'=2x-10=0 ; x=5
при х<5 y'<0
при х>5 y'>0
⇒ х=5 точка экстремума
экстремум:
y(5)=25-50+9=-16
б) в предположении что (1/3) это коэффициент при х³
y=(1/3)х³+x^2-3x+4
y'=x²+2x-3=0; x₁=1; x₂=-3 (корни найдены подбором с использованием теоремы Виета, но можно и по формуле корней квадратного уравнения)
определим знаки производной в окрестности корней
при х∈(-∞;-3) и х∈(1;+∞) y'>0
при х∈(-3;1) y'<0
⇒ -3 и 2 точки экстремума
экстремумы:
y(-3)=(-27/3)+9+9+4= -9+9+9+4==13
y(1)=(1/3)+1-3+4=2 1/3 (две целых одна третья)
по примеру реши.
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 можно, конечно, решить формулой кардано для решения кубических уравнений, но это долго и трудно. проще подобрать корни схемой горнера. возможные рациональные корни x = a/b, где а - делитель свободного члена, b - делитель старшего коэффициента. x = 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 находишь значения в этих точках. y(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 - повезло сразу! теперь раскладываем: x^3 - x^2 - 5x^2 + 5x + 6x - 6 = 0 (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0 (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 ответ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3