Хорошо, я буду выступать в роли школьного учителя и объясню, как найти первообразные для данных функций.
Первообразная функция, или интеграл, обратная производной функции. Чтобы найти первообразную функцию, мы должны найти функцию, производная которой равна данной функции.
1. Найдем первообразную для функции F(x) = 3x^4 - ln(x).
Для этого мы воспользуемся правилами интегрирования и пошагово найдем интеграл каждого члена функции:
Интеграл от 3x^4 будет равен ((3/5) * x^5). (Обоснование: мы повышаем степень на 1 и делим на новую степень).
Интеграл от -ln(x) будет равен (-x * ln(x) + x). (Обоснование: мы используем интеграл от ln(x) = x * ln(x) - x).
Таким образом, первообразная функция для F(x) будет F(x) = (3/5) * x^5 - (x * ln(x) - x) + C, где C - произвольная постоянная.
2. Теперь найдем первообразную для функции f(x) = 12x^3 - 1/x, где x > 0.
В этом случае у нас есть два слагаемых, 12x^3 и -1/x.
Интеграл от 12x^3 будет равен ((12/4) * x^4). (Обоснование: мы повышаем степень на 1 и делим на новую степень).
Интеграл от -1/x будет равен (-ln(x)). (Обоснование: мы используем интеграл от 1/x = ln(x)).
Таким образом, первообразная функция для f(x) будет f(x) = (12/4) * x^4 - ln(x) + C, где C - произвольная постоянная.
В итоге, первообразная функция F(x) = 3x^4 - ln(x) будет равна (3/5) * x^5 - (x * ln(x) - x) + C, где C - произвольная постоянная.
И первообразная функция f(x) = 12x^3 - 1/x, при условии x > 0, будет равна (12/4) * x^4 - ln(x) + C, где C - произвольная постоянная.
Надеюсь, это решение понятно для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
Первообразная функция, или интеграл, обратная производной функции. Чтобы найти первообразную функцию, мы должны найти функцию, производная которой равна данной функции.
1. Найдем первообразную для функции F(x) = 3x^4 - ln(x).
Для этого мы воспользуемся правилами интегрирования и пошагово найдем интеграл каждого члена функции:
Интеграл от 3x^4 будет равен ((3/5) * x^5). (Обоснование: мы повышаем степень на 1 и делим на новую степень).
Интеграл от -ln(x) будет равен (-x * ln(x) + x). (Обоснование: мы используем интеграл от ln(x) = x * ln(x) - x).
Таким образом, первообразная функция для F(x) будет F(x) = (3/5) * x^5 - (x * ln(x) - x) + C, где C - произвольная постоянная.
2. Теперь найдем первообразную для функции f(x) = 12x^3 - 1/x, где x > 0.
В этом случае у нас есть два слагаемых, 12x^3 и -1/x.
Интеграл от 12x^3 будет равен ((12/4) * x^4). (Обоснование: мы повышаем степень на 1 и делим на новую степень).
Интеграл от -1/x будет равен (-ln(x)). (Обоснование: мы используем интеграл от 1/x = ln(x)).
Таким образом, первообразная функция для f(x) будет f(x) = (12/4) * x^4 - ln(x) + C, где C - произвольная постоянная.
В итоге, первообразная функция F(x) = 3x^4 - ln(x) будет равна (3/5) * x^5 - (x * ln(x) - x) + C, где C - произвольная постоянная.
И первообразная функция f(x) = 12x^3 - 1/x, при условии x > 0, будет равна (12/4) * x^4 - ln(x) + C, где C - произвольная постоянная.
Надеюсь, это решение понятно для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!