Question

Найти y^ (2), если y=x^2log3x=sinx/x

Answer 1

Для начала разберемся с обозначениями. Здесь y^ (2) означает вторую производную функции y по переменной x.

Шаг 1: Найдем первую производную функции y по переменной x.

Для этого воспользуемся правилом производной произведения. Пусть функции u и v определены как u = x^2, а v = log3x. Тогда

y = u * v.

Применяя правило производной произведения, получаем:

y' = u' * v + u * v',

где u' и v' - первые производные функций u и v соответственно.

Найдем первую производную функции u = x^2:

u' = 2x.

Найдем первую производную функции v = log3x, применяя правило производной натурального логарифма:

v' = 1/(x * ln(3)).

Теперь мы можем выразить y':

y' = (2x * log3x) + (x^2 * 1/(x * ln(3)))
= 2xlog3x + x/(ln(3))
= x(2log3x + 1/(ln(3))).

Шаг 2: Найдем вторую производную функции y по переменной x.

Для этого нам нужно найти первую производную от y'.

Все еще предположим, что y' = x(2log3x + 1/(ln(3))).

Применяя правило производной произведения, получаем:

y'' = (x' * (2log3x + 1/(ln(3))) + x * (2log3x + 1/(ln(3)))'),
где x' - первая производная переменной x.

Заметим, что x' = 1.

Тогда y'' = (2log3x + 1/(ln(3))) + x * (0 + (2/(x*ln(3)))),
= 2log3x + 1/(ln(3)) + 2/(ln(3)x).

Итак, y" = 2log3x + 1/(ln(3)) + 2/(ln(3)x).

Таким образом, вторая производная функции y по переменной x равна 2log3x + 1/(ln(3)) + 2/(ln(3)x).